Het college vindt plaats op maandag van 15:30 tot 17:30 in zaal 407 van het Snellius-gebouw, Niels Bohrweg 1. Geregeld zal er huiswerk worden opgegeven. Het gemaakte huiswerk telt uiteindelijk voor 25 % mee in het eindcijfer. De resterende 75 % wordt bepaald door een schriftelijk tentamen over de gehele stof. Een datum voor dit schriftelijke tentamen is inmiddels vastgesteld: maandag 12 juni van 15:30 tot 18:30, in zaal 407 van het Snellius-gebouw.
De stof voor het tentamen bestaat uit de gehele op het college behandelde stof. Er kan naar een bewijs worden gevraagd, mits dat kort genoeg is. De stof is in grote lijnen terug te vinden in het boek van Aarts: men dient dan het gehele boek te bestuderen, met uitzondering van de paragrafen 10, 11, 15 vanaf Definitie 15.3, 16, 24 en 25. Als voorbeelden van tentamensommen gelden de huiswerkopgaven die gedurende het semester zijn opgegeven. Wie verder wil oefenen, raad ik de volgende sommen uit Aarts, paragraaf 26 aan: Examen I; Examen II, sommen 1, 2, 3a; Examen III, sommen 1, 2a en 3; Examen IV, sommen 1, 3, 4 en 6; Examen VI, som 1 en 3. Op maandag 29 mei is er om 15:30 een vragenuur, geleid door Peter Bruin.
Hier is een handout bij het college.
6 februari:
College: complexe getallen: optelling en vermenigvuldiging, rechthoekige
coordinaten, modulus, argument, poolcoordinaten, regel van De Moivre, reele en
imaginaire deel, complex geconjugeerde, afstandsbegrip op C,
driehoeksongelijkheid, vergelijking voor een cirkel, inverse en meetkundige
inversie, gedrag van cirkels en lijnen onder het nemen van inverse,
Riemann-sfeer.
Huiswerk: opgaven 1,2 en 3 van het vel met opgaven.
Corresponderende stof uit Aarts: stap 1, paragrafen 1.1, 1.2 en 4.4.
De
Moivre
13 februari:
College: n-de machtswortels, oplossen van polynoomvergelijkingen, complexe
functies, exp, goniometrische functies, logaritme, meerwaardigheid, hoofdwaarde,
Mobiustransformaties, gedrag van cirkels en lijnen onder Mobiustransformaties,
open en gesloten deelverzamelingen van C, continuiteit, rijen en convergentie,
criteria voor continuiteit, eigenschappen van continue functies.
Huiswerk: opgaven 4, 5 en 6 van het vel met opgaven.
Corresponderende stof uit Aarts: stap 1, paragrafen 1.2, 4, 6.5, 7.2 en 8.1 tot
en met 8.5.
Mobius
27 februari:
College: samenhang en wegsamenhang voor open verzamelingen, equivalentie van
deze twee begrippen voor open verzamelingen, gladde wegen, stuksgewijs gladde
wegen, lengte van een gladde
weg, lijnintegralen, cruciaal voorbeeld: z^k over de eenheidscirkel (eenmaal
linksom doorlopen), herparametrisatie, reverse parametrisatie, effect op de
lijnintegraal.
Huiswerk: opgaven 7, 8 en 9 van het vel met opgaven.
Corresponderende stof uit Aarts: stap 1, paragrafen 1.4 -- 1.8, 3 en 4; stap 3,
paragraaf 9.
Riemann
6 maart:
College: reeksen, convergentie, meetkundige reeks, voorwaarden voor convergentie,
absolute convergentie, vergelijkingsstelling van Weierstrass, wortelkenmerk,
machtreeksen, convergentiestraal, convergentiecirkel, exp, sin, cos en Log(1+z)
als machtreeks, bewerkingen op machtreeksen: optelling, vermeningvuldiging,
inverteren.
Huiswerk: opgaven 10 t/m 13 van het vel met opgaven.
Corresponderende stof uit Aarts: stap 5, paragraaf 17
tot en met Propositie 17.6, en paragraaf 19 tot en met 19.2.
Weierstrass
13 maart:
College: inverse van een machtreeks met positieve convergentiestraal en met
constante coefficient ongelijk aan 0 is weer een machtreeks met positieve
convergentiestraal, gevolg: als het centrum van een niet-triviale
machtreeks een nulpunt is,
dan is dat een geisoleerd nulpunt, uniforme convergentie voor functierijen,
voorbeelden en tegenvoorbeelden, uniforme limiet van een rij continue functies
is continu, uniforme convergentie voor functiereeksen, vergelijkingsstelling van
Weierstrass, een machtreeks om a convergeert absoluut en uniform op gesloten
cirkelschijven met middelpunt a en straal kleiner dan de convergentiestraal, een
machtreeks is continu op zijn open convergentieschijf, Riemann zeta-functie,
continuiteit van de Riemann zeta-functie voor het rechterhalfvlak Re z >1,
verwisseling van integratie en sommatie voor uniform convergente reeksen.
Corresponderende stof uit Aarts: paragraaf 17.9 t/m 17.14.
Huiswerk: opgaven 14 en 15 van het vel met opgaven.
Cauchy
20 maart:
College: differentieerbare functies, afgeleide, analytische functies,
rekenregels, f'=0 op een gebied geeft dat f is constant, f=u+iv is analytisch
desda de partiele afgeleiden van u, v continu zijn en voldoen aan de
Cauchy-Riemann vergelijkingen, herhaling van totale differentieerbaarheid voor
reele functies, exp is analytisch.
Corresponderende stof uit Aarts: stap 2, paragrafen 5 en 6.
Huiswerk: opgaven 16 tot en met 19 van het
vel met opgaven.
Abel
27 maart:
College: conforme afbeeldingen, conforme afbeeldingen zijn hoektrouw en
orientatiebehoudend, conforme afbeeldingen zijn lokaal injectief, een machtreeks
is analytisch op zijn open convergentieschijf, uitdrukking voor de afgeleide van
een machtreeks, relatie tussen coefficienten en de hogere orde afgeleides
uitgerekend in het centrum, voorbeelden, de opmerking dat een analytische
functie oneindig vaak differentieerbaar is, en
gelijk is aan zijn Taylorreeks, de opmerking dat dit niet zonder meer geldt voor
reele oneindig vaak differentieerbare functies, enkelvoudige samenhang, stelling
van Cauchy, schets van het bewijs van de stelling van Cauchy met behulp van de
stelling van Green.
Corresponderende stof uit Aarts: voor conforme afbeeldingen zie stap 2,
paragraaf 7, voor analyticiteit van machtreeksen zie stelling 17.7, voor de
stelling van Cauchy zie paragrafen 11 en 12. Het bewijs op college wordt
gesuggereerd door opgave 11.6.2.
Huiswerk: opgaven 20 tot en met 23 van het
vel met opgaven.
Green
10 april:
College: gevolg van de stelling van Cauchy: als U enkelvoudig samenhangend, a in
U een punt, en f analytisch op U\{a}, dan is de kringintegraal van f over een
stuksgewijs gladde weg eenmaal linksom om a onafhankelijk van de keus van de
weg, residu, residuenstelling, residu voor f = g/(z-a)^k met g een machtreeks om
a met positieve convergentiestraal, definitie meromorf en pool, integraalformule
van Cauchy, interpretatie in termen van residuen, middelwaardestelling van
Gauss, interpretatie: de waarde in a van een analytische functie f is het
gemiddelde van de waarden van f over een cirkeltje rond a.
Corresponderende stof uit Aarts: paragraaf 13.1 t/m 13.6. Verder is vraagstuk
12.9 nuttig om eens te bekijken.
Huiswerk: opgaven 24 tot en met 26 van het
vel met opgaven.
Liouville
24 april:
College: gevolgen van de integraalformule van Cauchy, van de
middelwaardestelling van Gauss en van de residuenstelling: stelling van
Lioville, hoofdstelling van de algebra, maximumprincipe, berekening van enkele
reele integralen door middel van contourintegratie (al dan niet na een geschikte
variabelensubstitutie).
Corresponderende stof uit Aarts: vraagstuk 13.7,
stellingen 13.8, 15.1 en 15.2.
Huiswerk: opgave 27 van het
vel met opgaven.
Gauss
8 mei:
College: Cauchy-getransformeerde, ontwikkelbaarheid in een machtreeks met
positieve convergentiestraal, uitdrukking voor de coefficienten van de
machtreeks, als toepassing het resultaat dat een analytische functie lokaal in
een machtreeks te ontwikkelen is met positieve convergentiestraal, met een
formule voor de hogere orde afgeleiden in het centrum (Integraalstelling van
Cauchy), ondergrens voor de convergentiestraal, verband met aanwezigheid van
polen, gevolgen van de integraalstelling: formule voor residuen van meromorfe
functies, ongelijkheid van Cauchy.
Corresponderende stof uit Aarts: stelling 14.1 (niet het bewijs), opmerking 14.2
en stelling 14.3; verder paragraaf 18 en voorbeeld 19.1.
Huiswerk: opgaven 14.4.4, 19.4.1 en 19.4.2 uit Aarts, en: bewijs de ongelijkheid
van Cauchy, en geef hiermee een kort alternatief bewijs voor de Stelling van
Liouville.
Laurent
15 mei:
College: identiteitsstelling, gevolgen, de gegeven definities voor exp komen met
elkaar overeen, Laurentreeksen, stelling over ontwikkelbaarheid in een
Laurentreeks voor analytische functies op een ringvormig gebied,
integraalformules voor de coefficienten, gevolg voor de berekening van residuen,
voorbeelden.
Corresponderende stof uit Aarts: paragrafen 20, 21 en 22.
Huiswerk: opgaven 22.4.1, 2 en 3 uit Aarts.
Casorati
22 mei:
College: als f_n analytische functies zijn en f_n -> f uniform op gesloten en
begrensde verzamelingen, dan is ook f analytisch en f'_n -> f', op zijn minst
puntsgewijs; gevolg: de Riemann zeta-functie is analytisch op Re z>1;
classificatie van singulariteiten aan de hand van de gedaante van de
Laurentreeks: ophefbare singulariteiten, polen en essentiele singulariteiten;
als de functie niet begrensd is rond een singulariteit dan is de singulariteit
een pool of een essentiele singulariteit;
stelling van Casorati-Weierstrass,
grote stelling van Picard (zonder bewijs).
Corresponderende stof uit Aarts: de resultaten over rijen analytische functies
en de Riemann zeta-functie worden behandeld in Opgaven 4 en 5 van 17.15; voor de
theorie over singulariteiten zie par. 23.
Picard