docent: Ronald van Luijk (rvl at math)
studentassistenten: Niels uit de Bos (nbos at math) en Jasmin Blackshaw (jblacksh at math)
college: woensdag, 11.15-13.00, SN 412
werkcollege: vrijdag, 9.00-10.45, SN B1,B2
blackboard: Lineaire Algebra 1 [voor wiskundigen] Wis-LA1-1112FWN
Toets: 27 oktober, 10.00-12.00 in zaal 312 en 412
Tentamen: 26 januari
Hertentamen: 29 maart
Literatuur: Het dictaat is ook elke ochtend voor 6 euro gebonden verkrijgbaar bij de administratie van het Mathematisch Instituut (MI), kamer 203a.
Normering: Het eindcijfer bestaat uit het cijfer voor het huiswerk (20%), de toets (20%) en het tentamen (60%).
Email: Af en toe wordt belangrijke informatie doorgegeven via blackboard of het emailadres dat je bij het MI hebt (xxx@math.leidenuniv.nl). Schrijf je dus in voor dit vak op blackboard en zorg dat je beide informatiebronnen zorgvuldig bijhoudt (bijvoorbeeld door beide alle berichten door te laten sturen naar een emailadres dat je elke dag leest).
Zoals je weet wordt het dictaat van de toekomst continu bijgewerkt. Tussen de laatste versie voor de toets en de versie van 6 november is veel veranderd. Er is nog weer wat aan oudere secties gesleuteld en ik heb de volgorde veranderd. Het inverteren van matrices bijvoorbeeld, gaat uiteindelijk later in het boek komen, als er met behulp van dimensies is bewezen dat elke inverteerbare matrix vierkant is.
Dit betekent niet dat je alles moet uitprinten!Inmiddels is alles wat tot het tentamen behoort af. Later, na het tentamen, zal ik nog wel een paar dingen toevoegen om het tot een completer dictaat te maken, maar wat betreft het tentamen is de versie van 11 december volledig. Wel staan er vast nog tikfouten in die nog verbeterd moeten worden. Als je die ziet, laat het dan vooral weten!
Het tentamen gaat simpel gezegd over alles wat we gedaan hebben. Een aantal dingen uit het dictaat kun je overslaan. Hieronder een rijtje van dingen die niet bij het tentamen horen, voor zowel het originele dictaat als het dictaat van de toekomst (versie van 11 december).
Dictaat van de toekomst:Voor het huiswerk mag je overleggen met medestudenten. Overschrijven mag natuurlijk niet. Als dit toch gebeurt worden alle betrokken partijen bestraft. Het huiswerk moet aan het begin van het college ingeleverd worden. In elk geval de eerste twee weken mag dat handgeschreven, maar later als pdf-bestand (liefst uitgeprint, mag ook per email naar Niels en Jasmin), gemaakt met LaTeX. Je laagste twee huiswerken tellen niet mee (slechtste reactie die je hierop kunt hebben is de laatste twee huiswerken over de belangrijkste stof niet te doen). Te laat ingeleverd huiswerk wordt niet ingenomen.
De inleverdata met het in te leveren huiswerk zijn
opgave 1: Als V en W vectorruimtes zijn, dan is de verzameling Hom(V,W) van alle lineaire afbeeldingen van V naar W een vectorruimte (zie 8.8 in het dictaat).
Laat zien dat voor elke a in Fn de afbeelding sa van Fn naar F met sa(x) = <a,x> voor alle x in Fn, lineair is.
Zij T de afbeelding van Fn naar Hom(Fn,F) die het element a stuurt naar de afbeelding sa. Laat zien dat T een isomorfisme is.
opgave 2: Doe opgave 7 van deze set opgaven.
opgave 3: Neem de lineaire afbeeldingen f en g uit de vorige opgave en noem de bijbehorende matrices A en B. In welke volgorde kun je f en g samenstellen? Stel ze met de hand ook daadwerkelijk samen en schrijf die samenstelling op dezelfde manier op als f en g ook gegeven zijn. Bereken het product van de matrices A en B (in de juiste volgorde) en verifieer dat dit product inderdaad overeen komt met de samenstelling van de lineaire afbeeldingen.
opgave 1: Geef de 3x3 matrix die hoort bij spiegeling van R3 in het vlak gegeven door x+2y-z=0.
opgave 2: Breng de laatste drie matrices van opgave 4 uit deze opgaven in row echelon form en geef voortbrengers voor de kern in all drie de gevallen.
opgave 3 en 4: Doe opgaven 3 en 10 uit dezelfde serie opgaven.
opgave 1: Doe opgave 6.56.10 uit het gewone dictaat
opgave 2: Geef een basis voor de kolomruimtes van de matrices van opgave 4 uit deze opgaven.
opgave 3: Laat zien dat de reele polynomen
De toets (met antwoorden) ging over alles dat was behandeld tot en met het werkcollege van 14 oktober. Er is een collectie voorbeeldopgaven met uitwerkingen.
Om overdadig printen te voorkomen, staan hier twee versies van het dictaat van de toekomst, met daarbij welke stof je uit die versie moest kennen. Er is in de nieuwe versie veel bijgekomen (ook zijn een paar niet-noemenswaardige opmerkinkjes aan hoofdstuk 4 toegevoegd), maar het enige nieuwe dat je daarvan voor de toets hoefde te kennen is de sectie 5.5 over het inverteren van matrices.
We hebben enkele voorbeelden van vectorruimtes gezien. Een vectorruimte is niets anders dan een verzameling met een optelling (optelling van vectoren) en een schaling (scalaire vermenigvuldiging van een schalingsfactor (scalar) met een vector), waarbij beide operaties zich netjes gedragen. We hebben ook gezien dat de scalairen uit een willekeurig lichaam F mogen komen. Dit betekent dat de scalaren hun eigen optelling, vermenigvuldiging, aftrekking en deling door niet-nul elementen hebben, waarbij deze operaties zich ook weer netjes gedragen. Het voorbeeld F2 = {0,1} voor de scalairen heeft nuttige toepassingen in de informatica en de cryptografie.
We hebben hoofdstuk 3 van het dictaat behandeld tot en met 3.8. Voorbeeld 3.5 is de Rn, die ook bescreven wordt in sectie 2.1 van de aantekeningen met interpretatie in sectie 2.2 van diezelfde aantekeningen (lees dit zelf). De rest van hoofdstuk 3 (polynomen en basiseigenschappen van vectorruimtes) komt bij het werkcollege en volgende week aan bod. Van hoofdstuk 4 (lichamen) hoef je alleen te weten wat er tijdens het college is verteld. Hier hoort dus niet de definitie uit het dictaat bij en ook niet de complexe getallen.
Alle voorbeelden die we gezien hebben zijn natuurlijk vectorruimtes. Om dat echt te laten zien, hoef je alleen maar de verzameling V, het element 0 en de optelling en scalaire vermenigvuldiging te identificeren en te checken dat ze aan de acht eisen van een vectorruimte voldoen.
Opgaven voor werkcollege 9 september: hoofdstuk 3, behalve 3.15.(6,7), en hoofdstuk 4, behalve 4.13.(1,4,5).
We hebben twee axioma's voor vectorruimtes geverifieerd voor de vectorruimte RX. Verder hebben we deelruimtes behandeld: definitie, voorbeelden, doorsneden. Pas op, want verenigingen van deelruimtes zijn in het algemeen niet per se weer deelruimtes. We hebben het dot product en enkele eigenschappen gezien, hypervlakken gedefinieerd. We hebben lineaire combinaties gedefinieerd en de stelling gezien (maar nog niet bewezen) dat de verzameling van alle lineaire combinaties een deelruimte is.
Wat we tot nog toe gedaan hebben is op de volgorde van behandeling op het college te vinden in wat eventueel een nieuwe versie van het dictaat voor de toekomst zal worden. Er staan ook een paar extra opmerkingen en opgaven in die niet in het dictaat staan. Op dit moment ligt de inhoud van het dictaat van de toekomst nog bij bij het college. Je mag daaruit de sectie "The field of complex numbers" overslaan. Verder hebben we nog niet gedefinieerd wat polynomen zijn (1.22 en 2.28-30).
Het dictaat, zowel nieuw als oud, definieert de span L(S) van een deelverzameling S in een vectorruimte V als de doorsnede van alle deelruimtes die S bevatten. Daarna wordt dan bewezen dat dit hetzelfde is als de deelruimte van alle lineaire combinaties van S. Wij zijn andersom begonnen, maar hebben nog niet bewezen dat de verzameling van lineaire combinaties inderdaad een deelruimte is.
16 september is er geen werkcollege wegens het Leidsche Flesch weekend.
We hebben de span L(S) gedefinieerd als de verzameling van lineaire combinaties van eindig veel elementen uit S. Dat is anders dan in het dictaat, maar wel equivalent, en we hebben gezien waarom. We hebben sommen van deelruimtes gedaan en complementaire ruimtes, inclusief voorbeelden. Verder hebben we polynomen en polynomiale functies gezien, en het verschil besproken. Daarna zijn we verder gegaan met Rn: inproduct, hoeken en lengtes in R2 en R3, loodrecht in Rn.
Er is weer een nieuwe versie van het dictaat van de toekomst. Daarin zijn we tot 2.55 gekomen en we hebben ook de uitspraak van 2.60 gezien in het geval F = R, maar nog zonder bewijs. Het dictaat bevat nog meer voorbeelden dan we tijdens college kunnen zien. Volgende keer zullen we afstanden gaan berekenen en lineaire afbeeldingen definëren.
Opgaven voor werkcollege 23 september: secties 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 uit het dictaat van de toekomst.
Opgaven voor werkcollege 30 september: secties 2.5 en 3.1 uit het dictaat van de toekomst.
Het dictaat van de toekomst is weer bijgewerkt, ook al moet ik nog wat opgaven naar het engels vertalen en nog en paar voorbeelden toevoegen. Opgaven voor het werkcollege: hoofdstuk 3 en 4. Je kunt ook alleen de opgaven downloaden.
Het dictaat van de toekomst is weer bijgewerkt, maar nog niet volledig. Vanaf pagina 40 zijn er wat foutjes verbeterd en is er uitleg over matrices toegevoegd. De secties van hoofdstuk 5 over wat we behandeld hebben tijdens colleges zijn al toegevoegd, nog zonder inhoud, maar met opgaven. Hoofdstuk 5 komt overeen met een groot deel van hoofdstuk 12 uit het gewone dictaat. Je moet de elementaire rijoperaties begrijpen en van een matrix de Row Echelon Form kunnen bepalen en voortbrengers voor de kern kunnen geven. Verder moet je de inverse van een matrix kunnen bepalen als die bestaat. Remark 12.2 wordt vervangen door de nieuwe opgave 5.4.6. De formulering van 12.3 en 12.12 uit het dictaat hoef je niet te kunnen reproduceren. Verder komen 12.4, 12.5, 12.16 en 12.17 pas later.
We hebben nog een keer gepraat over de row echelon form en zijn daarna aan hoofdstuk 6 uit het originele dictaat begonnen. Daarin zijn we tot 6.22 gekomen.
We zijn met hoofdstuk 6 verder gegaan en zijn tot 6.43 gekomen (een deel daarvan gaat over sommen, die we al gedaan hadden). Verder hebben we gezien hoe je op twee manieren een basis kunt bepalen voor een deelruimte
We hebben hoofdstuk 6 en 8 afgemaakt.
We hebben nog een lang voorbeeld over hoofdstuk 14 gedaan en zijn begonnen aan hoofdstuk 15.
We hebben hoofdstuk 15 afgemaakt, maar 15.15, 15.16, 15.17 overgeslagen. We hebben hoofdstuk 16 ook overgeslagen, op een opmerking van 3 minuten na. Daarna hebben we hoofdstuk 17 gedaan tot en met 17.5 en een voorbeeld analoog aan de eerste huiswerkopgave.