\documentclass[12pt,leqno]{book} \usepackage[francais]{babel} %% what is the difference with french, or %% frenchb? \usepackage{a4wide} %% maybe not so good for the %% non-europeans. Should we use the geometry package? %% in order to use accented characters. \usepackage{isolatin1} \usepackage{theorem} \usepackage{amsmath} %% for other fonts like \mathbb and \mathfrak; amssymb contains %% amsfonts.... So that gives more choice for the typists. \usepackage{amssymb} %% for simple rectangular diagrams \usepackage{amscd} %% for the more complicated diagrams one can use the XY-pic package. \usepackage[all]{xy} %% Why not use the times fonts \usepackage{times} %% for a maybe nicer script font \usepackage{mathrsfs} %% We want fancy headings \usepackage{fancyheadings} %% This comes from the LaTeX companion, pages 92-93. \newcommand{\clearemptydoublepage} {\newpage{\pagestyle{empty}\cleardoublepage}} %% We want the chapter numbers in large Roman numbers. \renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}} %% we want the numbering of the sections and subsections to be as in %% the book, i.e., without the chapter number in front of them \renewcommand{\thesection}{\arabic{section}} \renewcommand{\thesubsection}{\thesection.\arabic{subsection}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\arabic{subsubsection}} \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}} %% We define the theorem environments %% First those that have their text underlined (becomes slanted). \theorembodyfont{\sl} \newtheorem{theoreme}[subsection]{Th\'eor\`eme} \newtheorem{proposition}[subsection]{Proposition} \newtheorem{lemme}[subsection]{Lemme} \newtheorem{corollaire}[subsection]{Corollaire} \newtheorem{corollaires}[subsection]{Corollaires} \newtheorem{definition}[subsection]{D\'efinition} \newtheorem{definitions}[subsection]{D\'efinitions} \newtheorem{theoremedefinition}[subsection]{Th\'eor\`eme et d\'efinition} \newtheorem{subproposition}[subsubsection]{Proposition} \newtheorem{sublemme}[subsubsection]{Lemme} \newtheorem{subremarque}[subsubsection]{Remarque} \newtheorem{subdefinition}[subsubsection]{D\'efinition} %% And a *-form (i.e., without numbering) of some of these \newtheorem{corollairestar}{Corollaire.} \renewcommand{\thecorollairestar}{} \newtheorem{propositionstar}{Proposition.} \renewcommand{\thepropositionstar}{} \newtheorem{definitionstar}{D\'efinition.} \renewcommand{\thedefinitionstar}{} %% And those that do not have their text underlined. \theorembodyfont{\rmfamily} \newtheorem{remarque}[subsection]{Remarque} \newtheorem{remarques}[subsection]{Remarques} \newtheorem{exemples}[subsection]{Exemples} \newtheorem{exemple}[subsection]{Exemple} \newtheorem{vide}[subsection]{} \newtheorem{subvide}[subsubsection]{} %% And a *-form: \newtheorem{remarquestar}{Remarque.} \renewcommand{\theremarquestar}{} \newtheorem{remarquesstar}{Remarques.} \renewcommand{\theremarquesstar}{} \newtheorem{scholiestar}{Scholie} \renewcommand{\thescholiestar}{} %% for the equations \numberwithin{equation}{section} %% redefine \subsection so that the text following it starts on the %% same line. \makeatletter \renewcommand{\subsection} {\@startsection {subsection}{2}{\z@ }{-3.25ex\@plus -1ex \@minus -.2ex} {-1.5ex}{\normalfont \normalsize \bfseries }} \makeatother %% redefine \subsubsection so that the text following it starts on the %% same line. \makeatletter \renewcommand{\subsubsection} {\@startsection {subsubsection}{3}{\z@ }{-3.25ex\@plus -1ex \@minus -.2ex} {-1.5ex}{\normalfont \normalsize \bfseries }} \makeatother %% also redefine \section_run_in like this (used twice in %% introduction) \makeatletter \newcommand{\sectionrunin} {\@startsection {section}{1}{\z@ }{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex} {-1.5ex}{\normalfont \normalsize \bfseries }} \makeatother %% Some commands for the typesetting choices.... %% The choice for the script font. Some underlined math symbols become %% script. For example: \mathcal{O} for structure sheaves. \renewcommand{\mathcal}{\mathscr} %% The choice for the black board bold font. \renewcommand{\Bbb}{\mathbb} %% The choice for the gothic font. These are handwritten in the typed %% text. \newcommand{\goth}{\mathfrak} %% make the old font selection commands from LaTeX 2.09 work as the %% ones we want, but only in math mode. \renewcommand{\rm}{\mathrm} \renewcommand{\it}{\mathit} \renewcommand{\bf}{\mathbf} \renewcommand{\cal}{\mathcal} %% Macros. See AMSLaTex user's guide for explanations. \newcommand{\an}{\mathrm{an}} %% for analytic spaces etc. \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} %% group of automorphisms \DeclareMathOperator{\SheafAut}{\mathbf{Aut}} %% sheaf of automorphism groups \newcommand{\cart}{\mathrm{cart}} %% cartesian \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} %% category of categories \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} \DeclareMathOperator{\coprof}{coprof} \DeclareMathOperator{\diag}{diag} %% for diagonal \DeclareMathOperator{\divisor}{\mathrm{div}} %% for divisor of a function \newcommand{\Ens}{\mathbf{Ens}} %% category of sets \newcommand{\et}{\mathrm{\acute{e}t}} %% plus accent \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \DeclareMathOperator{\Fer}{Fer} %% set of closed subsets \newcommand{\Fib}{\mathrm{Fib}} %% occurs where? \DeclareMathOperator{\Fl}{\mathrm{Fl}} %% arrows in a category \DeclareMathOperator{\CatFl}{\mathbf{Fl}} %% category of arrows, page 183 \DeclareMathOperator{\Gl}{Gl} %% general linear group \DeclareMathOperator{\gr}{gr} %% graded \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} %% for Galois group \renewcommand{\H}{\mathrm{H}} %% replaces the old \H (what did it %% do?); this one is for (co)homology. \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} %% set of morphisms \DeclareMathOperator{\SheafHom}{\mathbf{Hom}} \DeclareMathOperator{\hop}{hop} %% page 424 (what is it?) \newcommand{\id}{\mathrm{id}} %% identity morphism \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}} %% replaces old \Im (Imaginary part %% of complex number) \DeclareMathOperator{\Isom}{Isom} \DeclareMathOperator{\SheafIsom}{\mathbf{Isom}} \renewcommand{\k}{\mathrm{k}} %% for residue field of a local ring; %% this replaces an existing \k, of %% which I hope that we don't need it. \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator*{\Lim}{Lim} \DeclareMathOperator{\Ob}{\mathrm{Ob}} \DeclareMathOperator{\Ouv}{Ouv} \DeclareMathOperator{\Pic}{Pic} \DeclareMathOperator{\Pro}{Pro} \DeclareMathOperator{\Prodash}{Pro-} \DeclareMathOperator{\prof}{prof} \DeclareMathOperator{\Proj}{Proj} %% for projective scheme \DeclareMathOperator{\Quot}{Quot} \DeclareMathOperator{\R}{R} %% for right-derivation of functors \newcommand{\red}{\mathrm{r\acute{e}d}} %% for reduced closed subscheme \newcommand{\Sch}{\mathbf{Sch}} \DeclareMathOperator{\Symp}{Sp} %% symplectic group \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp} %% for the support of a sheaf \DeclareMathOperator{\Symm}{Symm} %% for symmetric powers \newcommand{\tame}{\mathrm{t}} \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} \DeclareMathOperator{\trace}{tr} %% trace morphism \newcommand{\Univ}{\mathbf{Univ}} %% universe %% some composite symbols \newcommand{\isomto}{\overset{\sim}{\rightarrow}} \newcommand{\isomfrom}{\overset{\sim}{\leftarrow}} %% Some special symbols in blackboard bold font \newcommand{\NN}{\Bbb{N}} \newcommand{\CC}{\Bbb{C}} \newcommand{\GG}{\Bbb{G}} %% G for multiplicative/additive group. \newcommand{\LL}{\Bbb{L}} %% finite set of primes. \newcommand{\PP}{\Bbb{P}} %% P for projective space. \newcommand{\QQ}{\Bbb{Q}} \newcommand{\RR}{\Bbb{R}} \newcommand{\VV}{\Bbb{V}} %% vector bundle associated to an O_X-module \newcommand{\ZZ}{\Bbb{Z}} %% In order to make left superscripts easy to type (one can type %% ${}^e F$ for example, but then the height of the exponent does not %% take what is after it into account. \newcommand{\leftexp}[2]{{\vphantom{#2}}^{#1}{#2}} %% In order to prevent line breaks in formulas. \relpenalty=10000 \binoppenalty=10000 %% In order to avoid too many over hboxes and so on for the moment. \sloppy %% The following is an attempt to make the table of contents better, %% as the Roman numbers were too wide. \makeatletter \renewcommand*\l@chapter[2]{% \ifnum \c@tocdepth >\m@ne \addpenalty{-\@highpenalty}% \vskip 1.0em \@plus\p@ \setlength\@tempdima{2.5em}% \begingroup \parindent \z@ \rightskip \@pnumwidth \parfillskip -\@pnumwidth \leavevmode \bfseries \advance\leftskip\@tempdima \hskip -\leftskip #1\nobreak\hfil \nobreak\hb@xt@\@pnumwidth{\hss #2}\par \penalty\@highpenalty \endgroup \fi} \renewcommand{\l@section} {\@dottedtocline {1}{2.5em}{2.3em}} \makeatother %% We make the space between paragraphs bigger (note: it is %% temporarily changed back in the table of contents) \setlength{\parskip}{0.5\baselineskip} \begin{document} %% Describe headings in etc. (roman page numbers) \pagestyle{fancy} \lhead[]{} \chead[]{} \rhead[]{} \cfoot[\roman{page}]{\roman{page}} \setlength{\headheight}{1cm} \thispagestyle{empty} \hbox{} \vfill \noindent Ceci est une version saisie en LaTeX2e du livre ``Rev{\^e}tements {\'E}tales et Groupe Fondamental'', Lecture Notes in Mathematics, 224, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1971. \noindent Le but de cette version est de reproduire le texte original aussi fid{\`e}lement que possible. \vfill \noindent This is a LaTeX2e version of the book ``Rev{\^e}tements {\'E}tales et Groupe Fondamental'', Lecture Notes in Mathematics, 224, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1971. \noindent The aim of this version is to reproduce the original text as faithfully as possible. %% Add that the LaTeX2e source file is available in the Los Alamos %% archives (http://arxiv.org/), once that that is true! And maybe %% also a place where more information can be found on this project, %% if such a place will happen to exist. %% Note: this seems also to be the appropriate place to put some kind %% of legal protection of the source file (think of GPL, or the license %% that comes with Berkeley Unix, for example). \vfill %% to begin with an empty page \clearemptydoublepage %% Title page. %%\pagenumbering{Roman} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large %% To make the next \vfill work \hbox{} \vfill SEMINAIRE DE GEOMETRIE ALGEBRIQUE DU BOIS MARIE \bigskip 1960--61 \vfill REVETEMENTS ETALES ET GROUPE FONDAMENTAL \bigskip (SGA 1) \vfill Un s{\'e}minaire dirig{\'e} par \bigskip A.\ GROTHENDIECK \vfill Augment{\'e} de deux expos{\'e}s par \bigskip Mme M.\ Raynaud \vfill \end{center} %% End of title page. %% to begin with an empty page \clearemptydoublepage \chapter*{Introduction} \label{I.0} \thispagestyle{empty} Dans la premi{\`e}re partie de cette introduction, nous donnons des pr{\'e}cisions sur le contenu du pr{\'e}sent volume; dans la deuxi{\`e}me, sur l'ensemble du ``\emph{S{\'e}minaire de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique du Bois-Marie}'', dont le pr{\'e}sent volume constitue le tome premier. \sectionrunin*{} \label{I.introduction.1} \noindent 1. \quad Le pr{\'e}sent volume pr{\'e}sente les fondements d'une th{\'e}orie du groupe fondamental en G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique, dans le point de vue ``kroneckerien'' permettant de traiter sur le m{\^e}me pied le cas d'une vari{\'e}t{\'e} alg{\'e}brique au sens habituel, et celui d'un anneau des entiers d'un corps de nombres, par exemple. Ce point de vue ne s'exprime d'une fa{\c c}on satisfaisante que dans le langage des sch{\'e}mas, et nous utiliserons librement ce langage, ainsi que les r{\'e}sultats principaux expos{\'e}s dans les trois premiers chapitres des \emph{El{\'e}ments de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique} de J.~DIEUDONNE et A.~GROTHENDIECK, (cit{\'e} EGA dans la suite). L'{\'e}tude du pr{\'e}sent volume du ``\emph{S{\'e}minaire de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique du Bois-Marie}'' ne demande pas d'autres connaissances de la G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique, et peut donc servir d'introduction aux techniques actuelles de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique, {\`a} un lecteur d{\'e}sireux de se familiariser avec ces techniques. Les expos{\'e}s I {\`a} XI de ce livre sont une reproduction textuelle, pratiquement inchang{\'e}e, des notes mim{\'e}ographi{\'e}es du S{\'e}minaire oral, qui {\'e}taient distribu{\'e}es par les soins de l'\emph{Institut des Hautes Etudes Scientifiques\footnote{Ainsi que les notes des s{\'e}minaires faisant suite {\`a} celui-ci. Ce mode de distribution s'{\'e}tant av{\'e}r{\'e} impraticable et insuffisant {\`a} la longue, tous les ``\emph{S{\'e}minaire de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique du Bois-Marie}'' para{\^\i}tront d{\'e}sormais sous forme de livre comme le pr{\'e}sent volume.}}. Nous nous sommes born{\'e}s {\`a} rajouter quelques notes de bas de page au texte primitif, de corriger quelques erreurs de frappe, et de faire un ajustage terminologique, le mot ``morphisme simple'' ayant notamment {\'e}t{\'e} remplac{\'e} entretemps par celui de ``morphisme lisse'', qui ne pr{\^e}te pas aux m{\^e}mes confusions. Les expos{\'e}s I {\`a} IV pr{\'e}sentent les notions locales de morphisme \emph{{\'e}tale} et de morphisme \emph{lisse}; ils n'utilisent gu{\`e}re le langage des sch{\'e}mas, expos{\'e} dans le Chapitre I des \emph{El{\'e}ments}\footnote{Une {\'e}tude plus compl{\`e}te est maintenant disponible dans les \emph{El{\'e}ments}, Chap~IV, \S\S~17 et 18.}. L'expos{\'e}~V pr{\'e}sente la description axiomatique du groupe fondamental d'un sch{\'e}ma, utile m{\^e}me dans le cas classique o{\`u} ce sch{\'e}ma se r{\'e}duit au spectre d'un corps, o{\`u} on trouve une reformulation fort commode de la th{\'e}orie de Galois habituelle. Les expos{\'e}s VI et VIII pr{\'e}sentent la \emph{th{\'e}orie de la descente}, qui a pris une importance croissance en G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique dans ces derni{\`e}res ann{\'e}es, et qui pourrait rendre des services analogues en G{\'e}om{\'e}trie Analytique et en Topologie. Il convient de signaler que l'expos{\'e} VII n'avait pas {\'e}t{\'e} r{\'e}dig{\'e}, et sa substance se trouve incorpor{\'e} dans un travail de J.~Giraud (M{\'e}thode de la Descente, Bull.\ Soc.\ Math.\ France, M{\'e}moire~2, 1964, viii + 150~p.). Dans l'expos{\'e} IX, on {\'e}tudie plus sp{\'e}cifiquement la descente des morphismes {\'e}tales, obtenant une approche syst{\'e}matique pour des th{\'e}or{\`e}mes du type de VAN KAMPEN pour le groupe fondamental, qui apparaissent ici comme de simples traductions de th{\'e}or{\`e}mes de descente. Il s'agit essentiellement d'un proc{\'e}d{\'e} de calcul du groupe fondamental d'un sch{\'e}ma connexe~$X$, muni d'un morphisme surjectif et propre, disons $X'\to X$, en termes des groupes fondamentaux des composantes connexes de $X'$ et des produits fibr{\'e}s~$X'\times_X X'$, $X'\times_X X'\times_X X'$, et des homomorphismes induits entre ces groupes par les morphismes simpliciaux canoniques entre les sch{\'e}mas pr{\'e}c{\'e}dents. L'expos{\'e}~X donne la th{\'e}orie de la \emph{sp{\'e}cialisation du groupe fondamental}, pour un morphisme propre et lisse, dont le r{\'e}sultat le plus frappant consiste en la d{\'e}termination ({\`a} peu de chose pr{\`e}s) du groupe fondamental d'une courbe alg{\'e}brique lisse en caract{\'e}ristique $p>0$, gr{\^a}ce au r{\'e}sultat connu par voie transcendante en caract{\'e}ristique nulle. L'expos{\'e}~XI donne quelques exemples et compl{\'e}ments, en explicitant notamment sous forme cohomologique la th{\'e}orie des rev{\^e}tements de \emph{KUMMER}, et celle d'\emph{ARTIN--SCHREIER}. Pour d'autres commentaires sur le texte, voir l'\emph{Avertissement} {\`a} la version multigraphi{\'e}e, qui fait suite {\`a} la pr{\'e}sente Introduction. Depuis la r{\'e}daction en 1961 du pr{\'e}sent S{\'e}minaire a {\'e}t{\'e} d{\'e}velopp{\'e}, en collaboration par M.~ARTIN et moi-m{\^e}me, le langage de la \emph{topologie {\'e}tale} et une th{\'e}orie cohomologique correspondante, expos{\'e}e dans la partie SGA~4 ``Cohomologie {\'e}tale des sch{\'e}mas'' du \emph{S{\'e}minaire de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique}, {\`a} para{\^\i}tre dans la m{\^e}me s{\'e}rie que le pr{\'e}sent volume. Ce langage, et les r{\'e}sultats dont il dispose d{\`e}s {\`a} pr{\'e}sent, fournissent un outil particuli{\`e}rement souple pour l'{\'e}tude du groupe fondamental, permettant de mieux comprendre et de d{\'e}passer certains des r{\'e}sultats expos{\'e}s ici. Il y aurait donc lieu de reprendre enti{\`e}rement la th{\'e}orie du groupe fondamental de ce point de vue (tous les r{\'e}sultats-clefs figurant en fait d{\`e}s {\`a} pr{\'e}sent dans loc. cit.). C'est ce qui {\'e}tait projet{\'e} pour le chapitre des \emph{El{\'e}ments} consacr{\'e} au groupe fondamental, qui devait contenir {\'e}galement plusieurs autres d{\'e}veloppements qui n'ont pu trouver leur place ici (s'appuyant sur la technique de r{\'e}solution des singularit{\'e}s): calcul du ``groupe fondamental local'' d'un anneau local complet en termes d'une r{\'e}solution des singularit{\'e}s convenable de cet anneau, formules de K{\"u}nneth locales et globales pour le groupe fondamental sans hypoth{\`e}se de propret{\'e} (cf.~Exp.~XIII), les r{\'e}sultats de M.~ARTIN sur la comparaison des groupes fondamentaux locaux d'un anneau local hens{\'e}lien excellent et de son compl{\'e}t{\'e} (SGA~4~XIX). Signalons {\'e}galement la n{\'e}cessit{\'e} de d{\'e}velopper une th{\'e}orie du groupe fondamental d'un topos, qui englobera {\`a} la fois la th{\'e}orie topologique ordinaire, sa version semi-simpliciale, la variante ``profinie''d{\'e}velopp{\'e} dans l'expos{\'e}~V du pr{\'e}sent volume, et la variante pro-discr{\`e}te un peu plus g{\'e}n{\'e}rale de SGA~3~X~7 (adapt{\'e}e au cas de sch{\'e}mas non normaux et non unibranches). En attendant une refonte d'ensemble de la th{\'e}orie dans cette optique, l'expos{\'e} XIII de Mme RAYNAUD, utilisant le langage et les r{\'e}sultats de SGA~4, est destin{\'e} {\`a} montrer le parti qu'on peut tirer dans quelques questions typiques, en g{\'e}n{\'e}ralisant notamment certains r{\'e}sultats de l'expos{\'e}~X {\`a} des sch{\'e}mas relatifs non propres. On y donne en particulier la structure du groupe fondamental ``premier {\`a} $p$'' d'une courbe alg{\'e}brique non compl{\`e}te en car. quelconque (que j'avais annonc{\'e} en 1959, mais dont une d{\'e}monstration n'avait pas {\'e}t{\'e} publi{\'e}e {\`a} ce jour). Malgr{\'e} ces nombreuses lacunes et imperfections (d'autres diront: {\`a} cause de ces lacunes et imperfections), je pense que le pr{\'e}sent volume pourra {\^e}tre utile au lecteur qui d{\'e}sire se familiariser avec la th{\'e}orie du groupe fondamental, ainsi que comme ouvrage de r{\'e}f{\'e}rence, en attendant la r{\'e}daction et la parution d'un texte {\'e}chappant aux critiques que je viens d'{\'e}num{\'e}rer. \sectionrunin*{} \label{I.introduction.2} \noindent 2. \quad Le pr{\'e}sent volume constitue le tome 1 du ``\emph{S{\'e}minaire de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique du Bois-Marie}'', dont les volumes suivants sont pr{\'e}vus pour para{\^\i} tre dans la m{\^e}me s{\'e}rie que celui-ci. Le but que se propose le \emph{S{\'e}minaire}, parall{\`e}lement au trait{\'e} ``Elements de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique'' de J.~DIEUDONNE et A.~GROTHENDIECK, est de jeter les fondements de la G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique, suivant les points de vue dans ce dernier ouvrage. La r{\'e}f{\'e}rence standart pour tous les volumes du \emph{S{\'e}minaire} est constitu{\'e}e par les Chapitres~I, II, III des ``\emph{El{\'e}ments de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique} (cit{\'e}s EGA~I, II, III), et on suppose le lecteur en possession du bagage d'alg{\`e}bre commutative et l'alg{\`e}bre homologique que ces chapitres impliquent\footnote{Voir l'Introduction {\`a} EGA~I pour des pr{\'e}cisions {\`a} ce sujet.}. De plus, dans chaque volume du \emph{S{\'e}minaire} il sera r{\'e}f{\'e}r{\'e} librement, dans le mesure des besoins, {\`a} des volumes ant{\'e}rieurs du m{\^e}me \emph{S{\'e}minaire}, ou {\`a} d'autres chapitres publi{\'e}s ou sur le point de para{\^\i} tre des ``El{\'e}ments''. Chaque \emph{partie} du \emph{S{\'e}minaire} est centr{\'e}e sur un sujet principal, indiqu{\'e} dans le titre du ou des volumes correspondants; le s{\'e}minaire oral porte g{\'e}n{\'e}ralement sur une ann{\'e}e acad{\'e}mique, parfois plus. Les expos{\'e}s {\`a} l'int{\'e}rieur de chaque partie du \emph{S{\'e}minaire} sont g{\'e}n{\'e}ralement dans une d{\'e}pendance logique {\'e}troite les uns par rapport aux autres; par contre, les diff{\'e}rentes parties du \emph{S{\'e}minaire} sont dans une large mesure logiquement ind{\'e}pendants les uns par rapport aux autres. Ainsi, la partie ``Sch{\'e}mas en Groupes''est {\`a} peu pr{\`e}s enti{\`e}rement ind{\'e}pendante des deux parties du \emph{S{\'e}minaire} qui la pr{\'e}c{\`e}dent chronologiquement; par contre, elle fait un fr{\'e}quent appel aux r{\'e}sultats de EGA~IV. Voici la liste des parties du \emph{S{\'e}minaire} qui doivent para{\^\i} tre prochainement (cit{\'e}s SGA~1 {\`a} SGA~7 dans la suite): \begin{description} \item[SGA 1.] Rev{\^e}tements {\'e}tales et groupe fondamental, 1960 et 1961. \item[SGA 2.] Cohomologie locale des faisceaux coh{\'e}rents et th{\'e}or{\`e}mes de Lefschetz locaux et globaux, 1961/62. \item[SGA 3.] Sch{\'e}mas en groupes, 1963 et 1964 (3~volumes), en~coll. avec M.~DEMAZURE. \item[SGA 4.] Th{\'e}orie des topos et cohomologie {\'e}tale des sch{\'e}mas, 1963/64 (3~volumes), (en~coll. avec M.~ARTIN et J.L.~VERDIER). \item[SGA 5.] Cohomologie $l$-adique et fonctions~$L$, 1964 et 1965 (2~volumes). \item[SGA 6.] Th{\'e}orie des intersections et th{\'e}or{\`e}me de Riemann-Roch, 1966/67 (2~volumes) (en~coll. avec P.~BERTHELOT et L.~ILLUSIE). \item[SGA 7.] Groupes de monodromie locale en g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique. \end{description} Trois parmi ces \emph{S{\'e}minaires} partiels ont {\'e}t{\'e}s dirig{\'e}s en \emph{collaboration} avec d'autres math{\'e}\-maticiens, qui figureront comme co-auteurs sur la couverture des volumes correspondants. Quant aux autres participants actifs du \emph{S{\'e}minaire}, dont le r{\^o}le (tant au point de vue r{\'e}dactionnel que de celui du travail de mise au point math{\'e}matique) est all{\'e} croissant d'ann{\'e}e en ann{\'e}e, le nom de chaque participant figure en t{\^e}te des expos{\'e}s dont il est responsable comme conf{\'e}rencier ou comme r{\'e}dacteur, et la liste de ceux qui figurent dans un volume d{\'e}termin{\'e} se trouve indiqu{\'e} sur la page de garde dudit volume. Il convient de donner quelques pr{\'e}cisions sur les rapports entre le \emph{S{\'e}minaire} et les \emph{El{\'e}ments}. Ces derniers {\'e}taient destin{\'e}s en principe {\`a} donner un expos{\'e} d'ensemble des notions et techniques jug{\'e}es les plus fondamentales dans la G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique, {\`a} mesure que ces notions et techniques elles-m{\^e}mes se d{\'e}gagent, par le jeu naturel d'exigences de coh{\'e}rence logique et esth{\'e}tique. Dans cette optique, il {\'e}tait naturel de consid{\'e}rer le \emph{S{\'e}minaire} comme une version pr{\'e}liminaire des \emph{El{\'e}ments}, destin{\'e}e {\`a} {\^e}tre englob{\'e}e {\`a} peu pr{\`e}s totalement, t{\^o}t ou tard, dans ces derniers. Ce processus avait d{\'e}j{\`a} commenc{\'e} dans une certaine mesure il y a quelques ann{\'e}es, puisque les expos{\'e}s I {\`a} IV du pr{\'e}sent volume SGA~1 sont enti{\`e}rement englob{\'e}s par EGA~IV, et que les expos{\'e}s VI {\`a} VIII devaient l'{\^e}tre d'ici quelques ann{\'e}es dans EGA~VI. Cependant, {\`a} mesure que se d{\'e}veloppe le travail d'{\'e}dification entrepris dans les \emph{El{\'e}ments} et dans le \emph{S{\'e}minaire}, et que les proportions d'ensemble se pr{\'e}cisent, le principe initial (d'apr{\`e}s lequel le \emph{S{\'e}minaire} ne constituerait qu'une version pr{\'e}liminaire et provisoire) appara{\^\i}t de moins en moins r{\'e}aliste en raison (entre autres) des limites impos{\'e}es par la pr{\'e}voyante nature {\`a} la dur{\'e}e de la vie humaine. Compte tenu du soin g{\'e}n{\'e}ralement apport{\'e} dans la r{\'e}daction des diff{\'e}rentes parties du \emph{S{\'e}minaire}, il n'y aura lieu sans doute de reprendre une telle partie dans les \emph{El{\'e}ments} (ou des trait{\'e}s qui en prendraient la rel{\`e}ve) que lorsque des progr{\`e}s ult{\'e}rieurs {\`a} la r{\'e}daction permettront d'y apporter des am{\'e}liorations tr{\`e}s substantielles, aux prix de modifications assez profondes. C'est le cas d{\`e}s {\`a} pr{\'e}sent pour le pr{\'e}sent s{\'e}minaire SGA~1, comme on l'a dit plus haut, et {\'e}galement pour SGA~2 (gr{\^a}ce aux r{\'e}sultats r{\'e}cents de Mme.~RAYNAUD). Par contre, rien n'indique actuellement qu'il en sera ainsi dans un proche avenir pour aucune des parties cit{\'e}es plus haut SGA~3 {\`a} SGA~7. Les r{\'e}f{\'e}rences {\`a} l'int{\'e}rieur du ``S{\'e}minaire de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique de Bois-Marie'' sont donn{\'e}es ainsi. Une \emph{r{\'e}f{\'e}rence int{\'e}rieure} {\`a} une des parties SGA~1 {\`a} SGA~7 du S{\'e}minaire est donn{\'e}e dans le style III~9.7, o{\`u} le chiffre III d{\'e}signe le num{\'e}ro de l'expos{\'e}, qui figure en haut de chaque page de l'expos{\'e} en question, et~9.7 le num{\'e}ro de l'{\'e}nonc{\'e} (ou de la d{\'e}finition, remarque, etc.) {\`a} l'int{\'e}rieur de l'expos{\'e}. Le cas {\'e}ch{\'e}ant, des nombres d{\'e}cimaux plus longs peuvent {\^e}tre utilis{\'e}s, par exemple 9.7.1, 9.7.2 pour d{\'e}signer par exemple les diverses {\'e}tapes dans la d{\'e}monstration d'une proposition~9.7. La r{\'e}f{\'e}rence III~9 d{\'e}signe la paragraphe 9 de l'expos{\'e}~III. Le num{\'e}ro de l'expos{\'e} est omis pour les r{\'e}f{\'e}rences internes {\`a} un expos{\'e}. Pour une \emph{r{\'e}f{\'e}rence {\`a} une autre} des \emph{parties} du \emph{S{\'e}minaire}, on utilise les m{\^e}mes sigles, mais pr{\'e}c{\'e}d{\'e}s de la mention de la partie en question des SGA, SGA~1~III~9.7. De m{\^e}me, la r{\'e}f{\'e}rence EGA~IV~11.5.7 signifie: El{\'e}ments de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique, Chap.~IV, {\'e}nonc{\'e} (ou d{\'e}finition etc\ldots)~11.5.7; ici, le premier chiffre arabe d{\'e}signe encore le num{\'e}ro du paragraphe. A part ces conventions en vigueur dans l'ensemble des SGA, la bibliographie relative {\`a} un expos{\'e} sera g{\'e}n{\'e}ralement rassembl{\'e}e {\`a} la fin de celui-ci, et il y sera r{\'e}f{\'e}r{\'e} {\`a} l'int{\'e}rieur de l'expos{\'e} par des num{\'e}ros entre crochets comme [3], suivant l'usage. Enfin, pour la commodit{\'e} du lecteur, chaque fois que cela semblera n{\'e}cessaire, nous joindrons {\`a} la fin des volumes des SGA un index des notations, et un index terminologique contenant s'il y a lieu une traduction anglaise des termes fran{\c c}ais utilis{\'e}s. Je tiens {\`a} joindre {\`a} cette introduction un commentaire extra-math{\'e}matique. Au mois de novembre 1969 j'ai eu connaissance du fait que l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques, dont j'ai {\'e}t{\'e} professeur essentiellement depuis sa fondation, recevait depuis trois ans des subventions du Minist{\`e}re des Arm{\'e}es. D{\'e}j{\`a} comme chercheur d{\'e}butant j'ai trouv{\'e} extr{\^e}mement regrettable le peu de scrupules que se font la plupart des scientifiques pour accepter de collaborer sous une forme ou une autre avec les appareils militaires. Mes motivations {\`a} ce moment {\'e}taient essentiellement de nature morale, donc peu susceptibles d'{\^e}tres prises au s{\'e}rieux. Aujourd'hui elles acqui{\`e}rent une force et une dimension nouvelle, vu le danger de destruction de l'esp{\`e}ce humaine dont nous menace la prolif{\'e}ration des appareils militaires et des moyens de destruction massives dont ces appareils disposent. Je me suis expliqu{\'e} ailleurs de fa{\c c}on plus d{\'e}taill{\'e}e sur ces questions, beaucoup plus importantes que l'avancement de n'importe quelle science (y compris la math{\'e}matique); on pourra par exemple consulter {\`a} ce sujet l'article de G.~Edwards dans le \no 1 du journal Survivre (Ao{\^u}t 1970), r{\'e}sumant un expos{\'e} plus d{\'e}taill{\'e} de ces questions que j'avais fait ailleurs. Ainsi, je me suis trouv{\'e} travailler pendant trois ans dans une institution alors qu'elle {\`a} mon insu {\`a} un mode de financement que je consid{\`e}re comme immoral et dangereux\footnote{Il va de soi que l'opinion que je viens d'exprimer n'engage que ma propre responsabilit{\'e}, et non pas celle de la maison d'{\'e}dition Springer qui {\'e}dite le pr{\'e}sent volume.}. Etant {\`a} pr{\'e}sent seul {\`a} avoir cette opinion parmi mes coll{\`e}gues {\`a} l'IHES, ce qui a condamn{\'e} {\`a} l'{\'e}chec mes efforts pour obtenir la suppression des subventions militaires du budget de l'IHES, j'ai pris la d{\'e}cision qui s'imposait et quitte l'IHES le 30 septembre 1970 et suspends {\'e}galement toute collaboration scientifique avec cette institution, aussi longtemps qu'elle continuera {\`a} accepter de telles subventions. J'ai demand{\'e} {\`a} M.~Motchane, directeur de l'IHES, que l'IHES s'abstienne {\`a} partir du 1er octobre 1970 des textes math{\'e}matiques dont je suis auteur, ou faisant partie du S{\'e}minaire de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique du Bois Marie. Comme il a {\'e}t{\'e} dit plus haut, la diffusion de ce s{\'e}minaire va {\^e}tre assur{\'e}e par la maison Julius Springer, dans le s{\'e}rie des Lecture Notes. Je suis heureux de remercier ici la maison Springer et Monsieur K.~Peters pour l'aide efficace et courtoise qu'ils m'ont apport{\'e}e pour rendre possible cette publication, en se chargeant en particulier de la frappe pour la photooffset des nouveaux expos{\'e}s rajout{\'e}s aux anciens s{\'e}minaires, et des expos{\'e}s manquants des s{\'e}minaires incomplets. Je remercie {\'e}galement M.~J.P.~Delale, qui s'est charg{\'e} du travail ingrat de compiler l'index des notations et l'index terminologique. \bigskip\hfill Massy, ao{\^u}t 1970. \chapter*{AVERTISSEMENT} \label{I.avertissement} \thispagestyle{empty} Chacun des expos{\'e}s redig{\'e}s donne la substance de plusieurs expos{\'e}s oraux cons{\'e}cutifs. Il n'a pas sembl{\'e} utile d'en pr{\'e}ciser les dates. L'expos{\'e}~VII, auquel il est r{\'e}f{\'e}r{\'e} {\`a} diverses reprises au cours de l'expos{\'e}~VIII, n'a pas {\'e}t{\'e} r{\'e}dig{\'e} par le conf{\'e}rencier, qui dans les conf{\'e}rences orales s'{\'e}tait born{\'e} {\`a} esquisser le langage de la descente dans les cat{\'e}gories g{\'e}n{\'e}rales, en se pla{\c c}ant {\`a} un point de vue strictement utilitaire et sans entrer dans les difficult{\'e}s logiques soulev{\'e}es par ce langage. Il est apparu qu'un expos{\'e} correct de ce langage sortirait des limites des pr{\'e}sentes notes, ne serait-ce que par sa longueur. Pour un expos{\'e} en forme de la th{\'e}orie de la descente, je renvoie {\`a} un article en pr{\'e}paration de Jean GIRAUD. En attendant sa parution\footnote{Actuellement paru: J.~GIRAUD, \emph{M{\'e}thodes de la descente}, M{\'e}moire \no 2 de la Soci{\'e}t{\'e} math{\'e}matiques de France, 1964.}, je pense qu'un lecteur attentif n'aura pas de peine {\`a} suppl{\'e}er par ses propres moyens aux r{\'e}f{\'e}rences fant{\^o}mes de l'Expos{\'e}~VIII. D'autres expos{\'e}s oraux, se pla{\c c}ant apr{\`e}s l'Expos{\'e}~XI, et auxquels il est fait allusion {\`a} certains endroits du texte, n'ont pas non plus {\'e}t{\'e} r{\'e}dig{\'e}s, et {\'e}taient destin{\'e}s {\`a} former la substance d'un Expos{\'e}~XII et d'un Expos{\'e}~XIII. Les premiers de ces expos{\'e}s oraux reprenaient, dans le cadre des sch{\'e}mas et des espaces analytiques avec {\'e}l{\'e}ments nilpotents (tels qu'ils sont introduits dans le S{\'e}minaire Cartan 1960/61) la construction de l'espace analytique {\`a} un pr{\'e}sch{\'e}ma localement de type fini sur un corps valu{\'e} complet~$k$, les th{\'e}or{\`e}mes du type GAGA dans le cas o{\`u} $k$ est le corps des complexes, et l'application {\`a} la comparaison du groupe fondamental d{\'e}fini par voie transcendante et le groupe fondamental {\'e}tudi{\'e} dans ces notes (comparer A.~Grothendieck, Fondements de la G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique, S{\'e}minaire Bourbaki \no~190, page~10, d{\'e}cembre 1959). Les derniers expos{\'e}s oraux esquissaient la g{\'e}n{\'e}ralisation des m{\'e}thodes d{\'e}velopp{\'e}es dans le texte pour l'{\'e}tude des rev{\^e}tements admettant de la ramification mod{\'e}r{\'e}e, et de la structure du groupe fondamental d'une courbe compl{\`e}te priv{\'e}e d'un nombre fini de points (comparer loc. cit., \no~182, page 27, th{\'e}or{\`e}me~14). Ces expos{\'e}s n'introduisent aucune id{\'e}e essentiellement nouvelle, c'est pourquoi il n'a pas sembl{\'e} indispensable d'en donner une r{\'e}daction en forme avant la parution des chapitres correspondants des El{\'e}ments de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique\footnote{Ils sont inclus dans le pr{\'e}sent volume dans l'Exp.~XII de Mme~Raynaud avec une d{\'e}monstration diff{\'e}rente de la d{\'e}monstration originale expos{\'e}e dans le S{\'e}minaire oral (cf.~introduction).}. Par contre, les th{\'e}or{\`e}mes du type Lefschetz pour le groupe fondamental et le groupe de Picard, tant au point de vue local que global, ont fait l'objet d'un S{\'e}minaire s{\'e}par{\'e} en 1962, qui a {\'e}t{\'e} compl{\`e}tement r{\'e}dig{\'e} et est {\`a} la disposition des usagers\footnote{\emph{Cohomologie {\'e}tale des faisceaux coh{\'e}rents et th{\'e}or{\`e}mes de Lefschetz locaux et globaux} (SGA~2), paru dans North Holland Pub.\ Cie.}. Signalons que les r{\'e}sultats d{\'e}velopp{\'e}s tant dans le pr{\'e}sent S{\'e}minaire que dans celui de 1962 seront utilis{\'e}s de fa{\c c}on essentielle dans la parution de plusieurs r{\'e}sultats clefs dans la cohomologie {\'e}tale des pr{\'e}sch{\'e}mas, qui feront l'objet d'un S{\'e}minaire (conduit par M.~Artin et moi-m{\^e}me) en 1963/64, actuellement en pr{\'e}paration\footnote{\emph{Cohomologie {\'e}tale des sch{\'e}mas} (cit{\'e} SGA~4), {\`a} para{\^\i} tre dans cette m{\^e}me s{\'e}rie.}. Les expos{\'e}s I {\`a}~IV, de nature essentiellement locale et tr{\`e}s {\'e}l{\'e}mentaire, seront absorb{\'e}s enti{\`e}rement par le chapitre IV des \emph{El{\'e}ments de G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique}, dont la premi{\`e}re partie est {\`a} l'impression et qui sera sans doute publi{\'e} vers fin~64. Ils pourront n{\'e}anmoins {\^e}tre utiles {\`a} un lecteur qui d{\'e}sirerait se mettre au courant des propri{\'e}t{\'e}s essentielles des morphismes lisses, {\'e}tales ou plats, avant d'entrer dans les arcanes d'un trait{\'e} syst{\'e}matique. Quant aux autres expos{\'e}s, ils seront absorb{\'e}s dans le chapitre VIII\footnote{En fait, par suite de modification du plan initialement pr{\'e}vu pour les \emph{El{\'e}ments}, l'{\'e}tude du groupe fondamental y est report{\'e}e {\`a} un chapitre ult{\'e}rieur {\`a} celui qu'on vient d'indiquer. Comparer l'introduction qui pr{\'e}c{\`e}de le pr{\'e}sent ``Avertissement''.} des ``El{\'e}ments'', dont la publication ne pourra gu{\`e}re {\^e}tre envisag{\'e}e avant plusieurs ann{\'e}es. \bigskip\hfill Bures, juin 1963. %% Make the table of contents. \clearemptydoublepage \setcounter{tocdepth}{1} %% Change parskip just for the table of contents. \parskip=0pt plus 1pt \thispagestyle{empty} %% this seems not to make the (arabic) page %% number disappear. \tableofcontents %% Change parskip back. \setlength{\parskip}{0.5\baselineskip} %% make sure that subsubsections are numbered. \setcounter{secnumdepth}{3} %% make the chapters be named ``Expose''. \renewcommand{\chaptername}{Expos{\'e}} \chapter{Morphismes {\'e}tales} \label{I} %% this is to get just the chapter number top right and the page %% number at the bottom \pagestyle{fancy} \lhead[]{} \chead[]{} \rhead[\thechapter]{\thechapter} \cfoot[\arabic{page}]{\arabic{page}} \setlength{\headheight}{1cm} \stepcounter{page} \pagenumbering{arabic} Pour simplifier l'exposition, on suppose que tous les pr{\'e}sch{\'e}mas envisag{\'e}s sont localement noeth{\'e}riens, du moins apr{\`e}s le num{\'e}ro~2. \section{Notions de calcul diff{\'e}rentiel} \label{I.1} Soit $X$ un pr{\'e}sch{\'e}ma sur~$Y$, soit $\Delta_{X/Y}$ ou $\Delta$ le morphisme diagonal $X\to X\times_Y X$. C'est un morphisme d'immersion, donc un morphisme d'immersion ferm{\'e}e de $X$ dans un ouvert $V$ de~$X\times_Y X$. Soit $\cal{I}_X$ l'id{\'e}al du sous-pr{\'e}sch{\'e}ma ferm{\'e} correspondant {\`a} la diagonale dans~$V$ (N.B. si on veut faire les choses intrins{\`e}quement, sans supposer $X$ s{\'e}par{\'e} sur~$Y$ -- hypoth{\`e}se qui serait canularesque -- on devrait consid{\'e}rer l'image inverse ensembliste de $\cal{O}_{X\times X}$ dans~$X$, et d{\'e}signer par $\cal{I}_X$ l'id{\'e}al d'augmentation dans ce dernier\ldots). Le faisceau ${\cal I}_X/\cal{I}_X^2$ peut {\^e}tre regard{\'e} comme un faisceau quasi-coh{\'e}rent sur~$X$, on le d{\'e}note par~$\mathit{\Omega}^1_{X/Y}$. Il est de type fini si $X\to Y$ est de type fini. Il se comporte bien par rapport {\`a} extension de la base $Y'\to Y$. On introduit aussi les faisceaux $\cal{O}_{X\times_Y X}/\cal{I}_X^{n+1}=\cal{P}^n_{X/Y}$, ce sont des faisceaux d'\emph{anneaux} sur~$X$, faisant de $X$ un pr{\'e}sch{\'e}ma qu'on peut d{\'e}noter par $\Delta_{X/Y}^n$ et appeler le n.\emph{{\`e}me voisinage infinit{\'e}simal de}~$X/Y$. Le sorite en est d'une trivialit{\'e} totale, bien qu'il soit assez long\footnote{cf.~EGA IV~16.3.}; il serait prudent de n'en parler qu'au moment o{\`u} on en dit quelque chose de serviable, avec les morphismes lisses. \section{Morphismes quasi-finis} \label{I.2} \begin{proposition} \label{I.2.1} Soit $A\to B$ un homomorphisme local (N.B. les anneaux sont maintenant noeth{\'e}riens), $m$ l'id{\'e}al maximal de~$A$. Conditions {\'e}quivalentes: \begin{enumerate} \item[(i)] $B/mB$ est de dimension finie sur $k=A/m$. \item[(ii)] $mB$ est un id{\'e}al de d{\'e}finition, et $B/r(B)=\kappa(B)$ est une extension de $k=\kappa(A)$. \item[(iii)] Le compl{\'e}t{\'e} $\widehat{B}$ est fini sur celui $\widehat{A}$ de~$A$. \end{enumerate} \end{proposition} On dit alors que $B$ \emph{est quasi-fini} sur~$A$. Un morphisme $f\colon X\to Y$ est dit quasi-fini en~$x$ (ou le $Y$-presch{\'e}ma $f$ est dit quasi-fini en~$x$) si $\cal{O}_x$ est quasi-fini sur~$\cal{O}_{f(x)}$. Cela revient aussi {\`a} dire que $x$ est \emph{isol{\'e} dans sa fibre}~$f^{-1}(x)$. Un morphisme est dit quasi-fini s'il l'est en tout point\footnote{Dans EGA~II~6.2.3 on suppose de plus $f$ de type fini.}. \begin{corollairestar} Si $A$ est complet, quasi-fini {\'e}quivaut {\`a} fini. On pourrait donner le sorite (i) (ii) (iii) (iv) (v) habituel pour les morphismes quasi-finis, mais ce ne semble pas indispensable ici. \end{corollairestar} \section{Morphismes non ramifi{\'e}s ou nets} \label{I.3} \begin{proposition} \label{I.3.1} Soit $f\colon X\to Y$ un morphisme de type fini, $x\in X$, $y=f(x)$. Conditions {\'e}quivalentes: \begin{enumerate} \item[(i)] $\cal{O}_x/m_y\cal{O}_x$ est une extension finie s{\'e}parable de $\kappa(y)$. \item[(ii)] $\mathit{\Omega}^1_{X/Y}$ est nul en~$x$. \item[(iii)] Le morphisme diagonal $\Delta_{X/Y}$ est une immersion ouverte au voisinage de~$x$. \end{enumerate} \end{proposition} Pour l'implication (i)$\Rightarrow$(ii), on est ramen{\'e} aussit{\^o}t par Nakayama au cas o{\`u} $Y=\mathrm{Spec}(k)$, $X=\mathrm{Spec}(k')$, o{\`u} c'est bien connu et d'ailleurs trivial sur la d{\'e}finition de s{\'e}parable; (ii)$\Rightarrow$(iii) d'apr{\`e}s une caract{\'e}rsiation agr{\'e}able et facile des immersions ouvertes, utilisant Krull; (iii)$\Rightarrow$(i) car on est encore ramen{\'e} au cas o{\`u} $Y=\mathrm{Spec}(k)$ et o{\`u} le morphisme diagonal est une immersion ouverte partout. Il faut alors prouver que $X$ est fini d'anneau s{\'e}parable sur~$k$, on est ramen{\'e} pour ceci au cas o{\`u} $k$ est alg{\'e}briquement clos. Mais alors tout point ferm{\'e} de $X$ est isol{\'e} (car identique {\`a} l'image inverse de la diagonale par le morphisme $X\to X\times_k X$ d{\'e}fini par~$x$), d'o{\`u} le fait que $X$ est fini. On peut supposer alors $X$ r{\'e}duit {\`a} un point, d'anneau~$A$, donc $A\otimes_k A\to A$ est un isomorphisme, d'o{\`u} $A=k$ cqfd. \begin{definition} \label{I.3.2} \begin{enumerate} \item[a)] On dit alors que $f$ est \emph{net}, ou encore \emph{non ramifi{\'e}}, en~$x$, ou que $X$ est net, ou encore non ramifi{\'e}, en $x$ sur~$Y$. \item[b)] Soit $A\to B$ un homomorphisme local, on dit qu'il est \emph{net}, ou \emph{non ramifi{\'e}}, ou que $B$ est une alg{\`e}bre locale \emph{nette}, ou \emph{non ramifi{\'e}e} sur~$A$, si $B/r(A)B$ est une extension finie s{\'e}parable de $A/r(A)$ i.e. si $r(A)B=r(B)$ et $k(B)$ est une extension s{\'e}parable de~$k(A)$\footnote{Cf. remords dans III~1.2}. \end{enumerate} \end{definition} \begin{remarquesstar} Le fait que $B$ soit net sur $A$ se reconna{\^\i}t d{\'e}j{\`a} sur les compl{\'e}t{\'e}s de $A$ et de~$B$. Net implique quasi-fini. \end{remarquesstar} \begin{corollaire} \label{I.3.3} L'ensemble des points o{\`u} $f$ est net est ouvert. \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.3.4} Soient $X'$, $X$ deux pr{\'e}sch{\'e}mas de type fini sur~$Y$, et $g\colon X'\to X$ un $Y$-morphisme. Si $X$ est net sur~$Y$, le morphisme graphe $\Gamma_g\colon X'\to X\times_Y X$ est une immersion ouverte. \end{corollaire} En effet, c'est l'image inverse du morphisme diagonal $X\to X\times_Y X$ par $$ g\times_Y\id_{X'}\colon X'\times_Y X\to X\times_Y X. $$ On peut aussi introduire l'id{\'e}al annulateur $\goth{d}_{X/Y}$ de~$\mathit{\Omega}^1_{X/Y}$, appel{\'e} id{\'e}al diff{\'e}rente de~$X/Y$; il d{\'e}finit un sous-pr{\'e}sch{\'e}ma ferm{\'e} de $X$ qui, ensemblistement, est l'ensemble des points o{\`u} $X/Y$ est ramifi{\'e}, i.e. non net. \begin{proposition} \label{I.3.5} \begin{enumerate} \item[(i)] Une immersion est nette. \item[(ii)] Le compos{\'e} de deux morphismes nets l'est. \item[(iii)] Extension de base dans un morphisme net en est un autre. \end{enumerate} \end{proposition} Se voit indiff{\'e}remment sur (ii) ou (iii) (le deuxi{\`e}me me semble plus amusant). On peut bien entendu aussi pr{\'e}ciser, en donnant des {\'e}nonc{\'e}s ponctuels; ce n'est plus g{\'e}n{\'e}ral qu'en apparence (sauf dans le cadre de la d{\'e}finition~b)), et barbant. On obtient comme d'habitude des corollaires: \begin{corollaires} \label{I.3.6} \begin{enumerate} \item[(iv)] Produit cart{\'e}sien de deux morphismes nets en est un autre. \item[(v)] Si $gf$ est net, $f$ est net. \item[(vi)] Si $f$ est net, $f_{\text{\textup{r\'ed}}}$ est net. \end{enumerate} \end{corollaires} \begin{proposition} \label{I.3.7} Soit $A\to B$ un homomorphisme local, on suppose l'extension r{\'e}siduelle $k(B)/k(A)$ triviale ou $k(A)$ alg{\'e}briquement clos. Pour que $B/A$ soit net, il faut et il suffit que $\widehat{B}$ soit (comme $\widehat{A}$-alg{\`e}bre) un quotient de~$\widehat{A}$. \end{proposition} \begin{remarquesstar} \begin{enumerate} \item[--] Dans le cas o{\`u} on ne suppose pas l'extension r{\'e}siduelle triviale, on peut se ramener {\`a} ce cas en faisant une extension finie plate convenable sur $A$ qui d{\'e}truise ladite extension. \item[--] Donner l'exemple o{\`u} $A$ est l'anneau local d'un point double ordinaire d'une courbe, $B$ d'un point du normalis{\'e}: alors $A\subset B$, $B$ est net sur $A$ {\`a} extension r{\'e}siduelle triviale, et $\widehat{A}\to\widehat{B}$ est surjectif mais \emph{non injectif}. On va donc renforcer la notion de nettet{\'e}. \end{enumerate} \end{remarquesstar} \section{Morphismes {\'e}tales. Rev{\^e}tements {\'e}tales} \label{I.4} On va admettre tout ce qui nous sera n{\'e}cessaire sur les morphismes plats; ces faits seront d{\'e}montr{\'e}s ult{\'e}rieurement, s'il y a lieu\footnote{Cf. Exp.~IV.}. \begin{definition} \label{I.4.1} \begin{enumerate} \item[a)] Soit $f\colon X\to Y$ un morphisme de type fini. On dit que $f$ est \emph{{\'e}tale} en $x$ si $f$ est plat en $x$ et net en~$x$. On dit que $f$ est {\'e}tale s'il l'est en tous les points. On dit que $X$ est {\'e}tale en $x$ sur~$Y$, ou que c'est un $Y$-pr{\'e}sch{\'e}ma {\'e}tale en~$x$ etc\ldots \item[b)] Soit $f\colon A\to B$ un homomorphisme local. On dit que $f$ est {\'e}tale, ou que $B$ est {\'e}tale sur~$A$, si $B$ est plat et non ramifi{\'e} sur~$A$.\footnote{Cf. remords dans III~1.2.} \end{enumerate} \end{definition} \begin{proposition} \label{I.4.2} Pour que $B/A$ soit {\'e}tale, il faut et il suffit que $\widehat{B}/\widehat{A}$ le soit. \end{proposition} En effet, c'est vrai s{\'e}par{\'e}ment pour ``net'' et pour ``plat''. \begin{corollaire} \label{I.4.3} Soit $f\colon X\to Y$ de type fini, et $x\in X$. Le fait que $f$ soit {\'e}tale en $x$ ne d{\'e}pend que de l'homomorphisme local ${\cal O}_{f(x)}\to \cal{O}_x$, et m{\^e}me seulement de l'homomorphisme correspondant pour les compl{\'e}t{\'e}s. \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.4.4} Supposons que l'extension r{\'e}siduelle $k(A)\to k(B)$ soit triviale, ou que $k(A)$ soit alg{\'e}briquement clos. Alors $B/A$ est {\'e}tale sss $\widehat{A}\to\widehat{B}$ est un isomorphisme. \end{corollaire} On conjugue la platitude et~\ref{I.3.7}. \begin{proposition} \label{I.4.5} Soit $f\colon X\to Y$ un morphisme de type fini. Alors l'ensemble des points o{\`u} il est {\'e}tale est ouvert. \end{proposition} En effet, c'est vrai s{\'e}par{\'e}ment pour ``net'' et ``plat''. Cette proposition montre qu'on peut laisser tomber les {\'e}nonc{\'e}s ``ponctuels'' dans l'{\'e}tude des morphismes de type fini {\'e}tales quelque part. \begin{proposition} \label{I.4.6} \begin{enumerate} \item[(i)] Une immersion ouverte est {\'e}tale. \item[(ii)] Le compos{\'e} de deux morphismes {\'e}tales est {\'e}tale. \item[(iii)] Extension de la base. \end{enumerate} \end{proposition} En effet, (i) est trivial, et pour (ii) et (iii) il suffit de noter que c'est vrai pour ``net'' et pour ``plat''. A vrai dire, il y a aussi des {\'e}nonc{\'e}s correspondants pour les homomorphismes locaux (sans condition de finitude), qui en tout {\'e}tat de cause devront figurer au multiplodoque ({\`a} commencer par le cas: net). \begin{corollaire} \label{I.4.7} Un produit cart{\'e}sien de deux morphismes {\'e}tales est itou. \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.4.8} Soient $X$ et $X'$ de type fini sur~$Y$, $g\colon X\to X'$ un $Y$-morphisme. Si $X'$ est non ramifi{\'e} sur $Y$ et $X$ {\'e}tale sur~$Y$, alors $g$ est {\'e}tale. \end{corollaire} En effet, $g$ est le compos{\'e} du morphisme graphe $\Gamma_g\colon X\to X\times_Y X'$ qui est une immersion ouverte par \ref{I.3.4}, et du morphisme de projection qui est {\'e}tale car d{\'e}duit du morphisme {\'e}tale $X\to Y$ par le ``changement de base'' $X'\to Y$. \begin{definition} \label{I.4.9} On appelle rev{\^e}tement {\'e}tale (resp. net) de $Y$ un $Y$-sch{\'e}ma $X$ qui est fini sur $Y$ et {\'e}tale (resp. net) sur~$Y$. \end{definition} La premi{\`e}re condition signifie que $X$ est d{\'e}fini par un faisceau coh{\'e}rent d'alg{\`e}bres $\cal{B}$ sur~$Y$. La deuxi{\`e}me signifie alors que $\cal{B}$ est localement libre sur $Y$ (resp. rien du tout), \emph{et} que de plus, pour tout $y\in Y$, la fibre $\cal{B}(y)=\cal{B}_y\otimes_{\cal{O}_y}k(y)$ soit une alg{\`e}bre s{\'e}parable (= compos{\'e} fini d'extensions finies s{\'e}parables) sur~$k(y)$. \begin{proposition} \label{I.4.10} Soit $X$ un rev{\^e}tement plat de $Y$ de degr{\'e} $n$ (la d{\'e}finition de ce terme m{\'e}ritait de figurer dans~\ref{I.4.9}) d{\'e}fini par un faisceau coh{\'e}rent localement libre $\cal{B}$ d'alg{\`e}bres. On d{\'e}finit de fa{\c c}on bien connue l'homomorphisme trace $\cal{B}\to\cal{A}$ (qui est un homomorphisme de $\cal{A}$-modules, o{\`u} $\cal{A}=\cal{O}_Y$). Pour que $X$ soit {\'e}tale, il \emph{f} et \emph{s} que la forme bilin{\'e}aire $\trace_{\cal{B}/\cal{A}}xy$ correspondante d{\'e}finisse un isomorphisme de $\cal{B}$ sur~$\cal{B}$, ou ce qui revient au m{\^e}me, que la \emph{section discriminant} $$ d_{X/Y} = d_{\cal{B}/\cal{A}} \in \Gamma(Y,\bigwedge^n\check{\cal{B}}\otimes_{\cal{A}} \bigwedge^n\check{\cal{B}}) $$ soit inversible, ou enfin que l'id{\'e}al discriminant d{\'e}fini par cette section soit l'id{\'e}al unit{\'e}. \end{proposition} En effet, on est ramen{\'e} au cas o{\`u} $Y=\Spec(k)$, et alors c'est un crit{\`e}re de s{\'e}parabilit{\'e} bien connue, et trivial par passage {\`a} la cl{\^o}ture alg{\'e}brique de~$k$. \begin{remarquestar} On aura un {\'e}nonc{\'e} moins trivial plus bas, quand on ne suppose pas a priori que $X$ est plat sur $Y$ mais qu'on fait une hypoth{\`e}se de normalit{\'e}. \end{remarquestar} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{La propri{\'e}t{\'e} fondamentale des morphismes {\'e}tales} \label{I.5} \begin{theoreme} \label{I.5.1} \end{theoreme} Rappelons que 1) Un morphisme plat est ouvert 2) On peut supposer \begin{corollaire} \label{I.5.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.5.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.5.4} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{I.5.5} \end{theoreme} \begin{scholiestar} Ce r{\'e}sultat \end{scholiestar} \begin{corollaire} \label{I.5.6} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{I.5.7} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{I.5.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.5.9} \end{corollaire} \section{Application aux extensions {\'e}tales des anneaux locaux complets} \label{I.6} \begin{theoreme} \label{I.6.1} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{I.6.2} \end{corollaire} \section{Construction locale des morphismes non ramifi{\'e}s et {\'e}tales} \label{I.7} \begin{proposition} \label{I.7.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{I.7.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.7.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.7.4} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{I.7.5} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{I.7.6} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{I.7.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.7.8} \end{corollaire} \subsection*{D{\'e}monstration} de~\ref{I.7.6}. \begin{lemme} \label{I.7.9} \end{lemme} \begin{lemme} \label{I.7.10} \end{lemme} \begin{remarquestar} \end{remarquestar} \section{Rel{\`e}vement infinit{\'e}simal des sch{\'e}mas {\'e}tales. Application aux sch{\'e}mas formels} \label{I.8} \begin{proposition} \label{I.8.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{I.8.2} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{I.8.3} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{I.8.4} \end{corollaire} \begin{remarquestar} \end{remarquestar} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Propri{\'e}t{\'e}s de permanence} \label{I.9} \begin{proposition} \label{I.9.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{I.9.2} \end{corollaire} %% error in numbering in original text: two times 9.2. \setcounter{subsection}{1} \begin{proposition} \label{prop:I.9.2} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{I.9.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.9.4} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{I.9.5} \end{theoreme} \subsection*{Premi{\`e}re d{\'e}monstration.} \begin{quote} \textbf{Crit{\`e}re de Serre}: {\sl (i)~Pour tout id{\'e}al premier $\goth{p}$ de $A$ de rang~$1$, $A_{\goth{p}}$ est normal (ou ce qui revient au m{\^e}me, r{\'e}gulier); (ii)~Pour tout id{\'e}al premier $\goth{p}$ de $A$ de rang~$\geq 2$, on a profondeur $A_{\goth{p}}$ $\geq 2$.\protect\footnote{Cf.~EGA~IV~5.8.6.}} \end{quote} \subsection*{Deuxi{\`e}me d{\'e}monstration.} \begin{equation*} \label{eq:I.9.5.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \begin{lemme} \label{I.9.6} \end{lemme} \begin{corollaire} \label{I.9.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.9.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.9.9} \end{corollaire} \subsubsection*{D{\'e}monstration de (ii).} \begin{corollaire} \label{I.9.10} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.9.11} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.9.12} \end{corollaire} \begin{remarquestar} \end{remarquestar} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Rev{\^e}tements {\'e}tales d'un sch{\'e}ma normal} \label{I.10} \begin{proposition} \label{I.10.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{I.10.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.10.3} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{I.10.4} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{I.10.5} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{I.10.6} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{I.10.7} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{I.10.8} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{I.10.9} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{I.10.10} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{I.10.11} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{I.10.12} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Quelques compl{\'e}ments} \label{I.11} \chapter{Morphismes lisses: g{\'e}n{\'e}ralit{\'e}s, propri{\'e}t{\'e}s diff{\'e}rentielles} \label{II} Les renvois {\`a} l'expos{\'e}~I sont indiqu{\'e}s par I. On rappelle que les anneaux sont noeth{\'e}riens, et les pr{\'e}sch{\'e}mas localement noeth{\'e}riens. \section{G{\'e}n{\'e}ralit{\'e}s} \label{II.1} \begin{equation} \label{eq:II.1.1} Y[t_1,\ldots,t_n]=Y\otimes_\ZZ \ZZ[t_1,\ldots,t_n] \end{equation} \begin{equation} \label{eq:II.1.2} Y[t_1,\ldots,t_n]\times_Y Y'=Y'[t_1,\ldots,t_n] \end{equation} \begin{equation} \label{eq:II.1.3} (Y[t_1,\ldots,t_n])[t_{n+1},\ldots,t_m]=Y[t_1,\ldots,t_m] \end{equation} \begin{definition} \label{II.1.1} \end{definition} \setcounter{subsection}{0} \begin{proposition} \label{prop:II.1.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{II.1.2} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{II.1.3} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{II.1.4} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{II.1.5} \end{remarque} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Quelques crit{\`e}res de lissit{\'e} d'un morphisme} \label{II.2} \begin{theoreme} \label{II.2.1} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{II.2.2} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{II.2.3} \end{proposition} \begin{remarques} \label{II.2.4} \end{remarques} \begin{proposition} \label{II.2.5} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{II.2.6} \end{corollaire} \section{Propri{\'e}t{\'e}s de permanence} \label{II.3} \begin{proposition} \label{II.3.1} \end{proposition} \begin{equation} \label{eq:II.3.1} {} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:II.3.2} {} \end{equation} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 7 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Propri{\'e}t{\'e}s diff{\'e}rentielles des morphismes lisses} \label{II.4} \begin{equation} \label{eq:II.4.1} {} \end{equation} \begin{equation*} \label{eq:II.4.1bis} \tag{4.1\textrm{bis}} {} \end{equation*} \begin{equation} \label{eq:II.4.2} {} \end{equation} \begin{equation*} \label{eq:II.4.2bis} \tag{4.2\textrm{bis}} {} \end{equation*} \begin{lemme} \label{II.4.1} \end{lemme} \begin{lemme} \label{II.4.2} \end{lemme} \begin{theoreme} \label{II.4.3} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{II.4.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{II.4.5} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{II.4.6} \end{corollaire} \begin{remarques} \label{II.4.7} \end{remarques} \begin{corollaire} \label{II.4.8} \end{corollaire} \begin{equation} \label{eq:II.4.3} {} \end{equation} \begin{equation*} \label{eq:II.4.3bis} \tag{4.3\textrm{bis}} {} \end{equation*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 8 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proposition} \label{II.4.9} \end{proposition} \begin{remarquestar} \end{remarquestar} \subsection*{D{\'e}monstration.} \begin{theoreme} \label{II.4.10} \end{theoreme} \subsection*{D{\'e}monstration.} \begin{corollaire} \label{II.4.11} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{II.4.12} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{II.4.13} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 9 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{remarques} \label{II.4.14} \end{remarques} \begin{theoreme} \label{II.4.15} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{II.4.16} \end{corollaire} \subsection*{D{\'e}monstration.} \begin{corollaire} \label{II.4.17} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{II.4.18} \end{corollaire} %% error in original text: two times 4.18. \setcounter{subsection}{17} \begin{remarques} \label{rem:II.4.18} \begin{equation} \label{eq:II.4.4} {} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:II.4.5} {} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:II.4.6} {} \end{equation} \end{remarques} \begin{remarque} \label{II.4.19} \end{remarque} \section{Cas d'un corps de base} \label{II.5} \begin{proposition} \label{II.5.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{II.5.2} \begin{equation} \label{eq:II.5.1} {} \end{equation} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{II.5.3} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{II.5.4} \end{proposition} \begin{theoreme} \label{II.5.5} \end{theoreme} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 11 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{II.5.6} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{II.5.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{II.5.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{II.5.9} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{II.5.10} \end{corollaire} \subsection*{Errata} Dans le pr{\'e}sent \chapter{Morphismes lisses: propri{\'e}t{\'e}s de prolongement} \label{III} \section{Homomorphismes formellements lisses} \label{III.1} Dans II, nous nous sommes born{\'e}s {\`a} la consid{\'e}ration d'homomorphismes de type fini, et par cons{\'e}quent, dans les homomorphismes locaux $A\to B$ d'anneaux locaux, au cas o{\`u} $B$ est isomorphe {\`a} une alg{\`e}bre localis{\'e}e d'une $A$-alg{\`e}bre de type fini. Ce cas est insuffisant pour diverses applications, notamment en g{\'e}om{\'e}trie formelle ou en g{\'e}om{\'e}trie analytique. Par exemple, l'anneau de s{\'e}ries formelles $B=A[[t_1,\ldots,t_n]]$ a (du point de vue de la g{\'e}om{\'e}trie formelle) les propri{\'e}t{\'e}s d'une alg{\`e}bre lisse sur~$A$. En g{\'e}om{\'e}trie analytique, il en est de m{\^e}me de l'anneau local d'un point $(y,z)$ d'un produit $Y\times\CC^n$ consid{\'e}r{\'e} comme alg{\`e}bre sur l'anneau local de~$y$; d'ailleurs, la compl{\'e}t{\'e}e de cette alg{\`e}bre est isomorphe {\`a} l'alg{\`e}bre des s{\'e}ries formelles en $n$ ind{\'e}termin{\'e}es sur le compl{\'e}t{\'e} de l'anneau de base~$\cal{O}_x$. C'est ce qui conduit {\`a} poser la d{\'e}finition qui suit. \begin{definition} \label{III.1.1} \end{definition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 12 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{remarques} \label{III.1.2} \end{remarques} \begin{lemme} \label{III.1.3} \end{lemme} \begin{proposition} \label{III.1.4} \end{proposition} \begin{proposition} \label{III.1.5} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{III.1.6} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.1.7} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{III.1.8} \end{remarque} \begin{proposition} \label{III.1.9} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 13 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Propri{\'e}t{\'e} de rel{\`e}vement caract{\'e}ristique des ho\-mo\-mor\-phis\-mes formellement lisses} \label{III.2} \begin{theoreme} \label{III.2.1} \end{theoreme} \begin{remarquestar} \end{remarquestar} \subsection*{D{\'e}monstration} de~\ref{III.2.1}. \begin{corollaire} \label{III.2.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.2.3} \end{corollaire} \section{Prolongement infinit{\'e}simal local des morphismes dans un $S$-sch{\'e}ma lisse} \label{III.3} \begin{theoreme} \label{III.3.1} \end{theoreme} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 14 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{III.3.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.3.3} \end{corollaire} \section{Prolongement infinit{\'e}simal local des $S$-sch{\'e}mas lisses} \label{III.4} \begin{theoreme} \label{III.4.1} \end{theoreme} \begin{lemme} \label{III.4.2} \end{lemme} \begin{remarque} \label{III.4.3} \end{remarque} \section{Prolongement infinit{\'e}simal global des morphismes} \label{III.5} \begin{proposition} \label{III.5.1} \end{proposition} \begin{equation*} \label{eq:III.5.1.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 15 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{III.5.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.5.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.5.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.5.5} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.5.6} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.5.7} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{III.5.8} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{III.5.9} \end{corollaire} \section{Prolongement infinit{\'e}simal global des $S$-sch{\'e}mas lisses} \label{III.6} \begin{proposition} \label{III.6.1} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 16 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{III.6.2} \end{corollaire} \begin{equation*} \label{eq:III.6.1} \tag{1} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:III.6.2} \tag{2} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:III.6.3} \tag{3} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:III.6.4} \tag{4} {} \end{equation*} \begin{theoreme} \label{III.6.3} \end{theoreme} \begin{remarques} \label{III.6.4} \end{remarques} \subsection{} \label{III.6.5} On notera que dans~\ref{III.6.3}, il n'y a pas en \subsection{} \label{III.6.6} On ne sait pour l'instant \begin{corollaire} \label{III.6.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.6.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.6.9} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{III.6.10} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 17 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Application {\`a} la construction de sch{\'e}mas formels et de sch{\'e}mas ordinaires lisses sur un anneau local complet $A$} \label{III.7} %% include the three footnotes on page 26 directly with \footnote{} \begin{equation*} \label{eq:III.7.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \begin{proposition} \label{III.7.1} \end{proposition} \begin{proposition} \label{III.7.2} \end{proposition} \begin{theoreme} \label{III.7.3} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{III.7.4} \end{corollaire} \chapter{Morphismes plats} \label{IV} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 18 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Sorites sur les modules plats} \label{IV.1} \begin{proposition} \label{IV.1.1} \end{proposition} \begin{proposition} \label{IV.1.2} \end{proposition} \begin{proposition} \label{IV.1.3} \end{proposition} \section{Modules fid{\`e}lement plats} \label{IV.2} \begin{proposition} \label{IV.2.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{IV.2.2} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{IV.2.3} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{IV.2.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IV.2.5} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{IV.2.6} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 19 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Relations avec la compl{\'e}tion} \label{IV.3} \begin{proposition} \label{IV.3.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{IV.3.2} \end{corollaire} \section{Relations avec les modules libres} \label{IV.4} \begin{proposition} \label{IV.4.1} \end{proposition} %% mistake in original text: the following corollaire should have %% number 4.2. \begin{corollairestar} %\label{IV.4.2} \begin{equation*} \label{eq:IV.2.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \end{corollairestar} \refstepcounter{subsection} \begin{corollaire} \label{IV.4.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IV.4.4} \end{corollaire} \section{Crit{\`e}res locaux de platitude} \label{IV.5} \begin{proposition} \label{IV.5.1} \begin{equation*} \label{eq:IV.5.1.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \end{proposition} \begin{proposition} \label{IV.5.2} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{IV.5.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IV.5.4} \begin{equation*} \label{eq:IV.5.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IV.5.5} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 20 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{theoreme} \label{IV.5.6} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{IV.5.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IV.5.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IV.5.9} \end{corollaire} \section{Morphismes plats et ensembles ouverts} \label{IV.6} \begin{lemme} \label{IV.6.1} \end{lemme} \begin{lemme} \label{IV.6.2} \end{lemme} \begin{lemme} \label{IV.6.3} \end{lemme} \begin{corollaire} \label{IV.6.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IV.6.5} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{IV.6.6} \end{theoreme} \begin{remarquesstar} \end{remarquesstar} \begin{lemme} \label{IV.6.7} \end{lemme} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 21 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{lemme} \label{IV.6.8} \end{lemme} \begin{corollaire} \label{IV.6.9} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{IV.6.10} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{IV.6.11} \end{corollaire} \chapter{Le groupe fondamental: g{\'e}n{\'e}ralit{\'e}s} \label{V} \setcounter{section}{-1} \section{Introduction} Le pr{\'e}sent S{\'e}minaire \section{Pr{\'e}sch{\'e}ma {\`a} groupe finie d'op{\'e}rateurs, pr{\'e}sch{\'e}ma quotient} \label{V.1} \begin{proposition} \label{V.1.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.1.2} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{V.1.3} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.1.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{V.1.5} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 22 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{V.1.6} \end{corollaire} \begin{definition} \label{V.1.7} \end{definition} \begin{proposition} \label{V.1.8} \end{proposition} %% mistake in original text: after 1.8 comes 1.7 again. \setcounter{subsection}{6} \begin{corollaire} \label{cor:V.1.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{cor:V.1.8} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{V.1.9} \end{proposition} \begin{equation*} \label{eq:V.1.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \section{Groupes de d{\'e}composition et d'inertie. Cas {\'e}tale} \label{V.2} \begin{proposition} \label{V.2.1} \end{proposition} \begin{proposition} \label{V.2.2} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 23 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{V.2.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{V.2.4} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{V.2.5} \end{remarque} \begin{proposition} \label{V.2.6} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.2.7} \end{corollaire} \begin{definition} \label{V.2.8} \end{definition} \section{Automorphismes et morphismes de rev{\^e}tements {\'e}tales} \label{V.3} \begin{proposition} \label{V.3.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.3.2} \end{corollaire} \begin{lemme} \label{V.3.3} \end{lemme} \begin{corollaire} \label{V.3.4} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{V.3.5} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.3.6} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{V.3.7} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 24 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Conditions axiomatiques d'une th{\'e}orie de Galois} \label{V.4} Nous proc{\'e}dons en plusieurs {\'e}tapes. \begin{enumerate} \item[a)] \item[b)] \item[c)] \begin{equation*} \label{eq:V.4.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \item[d)] \item[e)] \item[f)] \item[g)] \item[h)] \item[i)] \item[j)] \item[k)] \item[l)] \item[m)] \item[n)] \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 25 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{theoreme} \label{V.4.1} \end{theoreme} \begin{remarques} \label{V.4.2} \end{remarques} \section{Cat{\'e}gories galoisiennes} \label{V.5} \begin{definition} \label{V.5.1} \end{definition} \begin{proposition} \label{V.5.2} \end{proposition} \begin{proposition} \label{V.5.3} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.5.4} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 26 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proposition} \label{V.5.5} \end{proposition} \begin{proposition} \label{V.5.6} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.5.7} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{V.5.8} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.5.9} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{V.5.10} \end{remarque} \begin{remarque} \label{V.5.11} \end{remarque} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 27 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Foncteurs exacts d'une cat{\'e}gorie galoisienne dans une autre} \label{V.6} \begin{proposition} \label{V.6.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.6.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{V.6.3} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{V.6.4} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.6.5} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{V.6.6} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{V.6.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{V.6.8} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{V.6.9} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 28 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{V.6.10} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{V.6.11} \end{proposition} \begin{remarque} \label{V.6.12} \end{remarque} \begin{proposition} \label{V.6.13} \end{proposition} \section{Cas des pr{\'e}sch{\'e}mas} \label{V.7} \section{Cas d'un pr{\'e}sch{\'e}ma de base normale} \label{V.8} \begin{proposition} \label{V.8.1} \end{proposition} \begin{proposition} \label{V.8.2} \end{proposition} \begin{remarquestar} \end{remarquestar} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 29 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Cas des pr{\'e}sch{\'e}mas non connexes: cat{\'e}gories multigaloisiennes} \label{V.9} \chapter{Cat{\'e}gories fibr{\'e}es et descente} \label{VI} \setcounter{section}{-1} \section{Introduction} Contrairement {\`a} ce qui avait {\'e}t{\'e} annonc{\'e} dans l'introduction de l'expos{\'e} pr{\'e}c{\'e}dent, il s'est av{\'e}r{\'e} impossible de faire de la descente dans la cat{\'e}gorie des pr{\'e}sch{\'e}mas, m{\^e}me dans des cas particuliers, sans avoir d{\'e}velopp{\'e} au pr{\'e}alable avec assez de soin le langage de la descente dans les cat{\'e}gories g{\'e}n{\'e}rales. \section{Univers, cat{\'e}gories, {\'e}quivalence de cat{\'e}gories} \label{VI.1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 30 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Cat{\'e}gories sur une autre} \label{VI.2} \begin{equation*} \label{eq:VI.2.i} \tag{i} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:VI.2.ii} \tag{ii} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:VI.2.I} \tag{I} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:VI.2.II} \tag{II} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:VI.2.III} \tag{III} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:VI.2.IV} \tag{IV} {} \end{equation*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 31 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Changement de base dans les cat{\'e}gories sur $\cal{E}$} \label{VI.3} \begin{equation*} \label{eq:VI.3.i} \tag{i} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:VI.3.ii} \tag{ii} {} \end{equation*} \begin{remarquesstar} \end{remarquesstar} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 32 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Cat{\'e}gories-fibres; {\'e}quivalence de $\cal{E}$-cat{\'e}gories} \label{VI.4} \begin{proposition} \label{VI.4.1} \end{proposition} \begin{proposition} \label{VI.4.2} \end{proposition} \begin{definition} \label{VI.4.3} \end{definition} \begin{corollaire} \label{VI.4.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VI.4.5} \end{corollaire} \section{Morphismes cart{\'e}siens, images inverses, foncteurs car\-t{\'e}\-siens} \label{VI.5} \begin{definition} \label{VI.5.1} \end{definition} \begin{definition} \label{VI.5.2} \end{definition} \begin{proposition} \label{VI.5.3} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 33 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{VI.5.4} \end{corollaire} \begin{definition} \label{VI.5.5} \end{definition} \section{Cat{\'e}gories fibr{\'e}es et cat{\'e}gories pr{\'e}fibr{\'e}es. Produits et changement de base dans icelles} \label{VI.6} \begin{definition} \label{VI.6.1} \end{definition} \begin{remarquesstar} \end{remarquesstar} \begin{proposition} \label{VI.6.2} \end{proposition} \begin{proposition} \label{VI.6.3} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{VI.6.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VI.6.5} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{VI.6.6} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{VI.6.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VI.6.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VI.6.9} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 34 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proposition} \label{VI.6.10} \end{proposition} \begin{proposition} \label{VI.6.11} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{VI.6.12} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VI.6.13} \end{corollaire} \section{Cat{\'e}gories cliv{\'e}es sur $\cal{E}$} \label{VI.7} \begin{definition} \label{VI.7.1} \end{definition} \begin{proposition} \label{VI.7.2} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{VI.7.3} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{VI.7.4} \end{proposition} \begin{equation*} \label{eq:VI.7.A'} \tag{$A'$} {} \end{equation*} Quant {\`a} la troisi{\`e}me, elle se visualise par la commutativit{\'e} du diagramme \begin{equation*} \label{eq:VI.7.D} \tag{$D$} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:VI.7.D'} \tag{$D'$} {} \end{equation*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 35 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Cat{\'e}gorie cliv{\'e}e d{\'e}finie par un pseudo-foncteur $\cal{E}^o\to\Cat$} \label{VI.8} \begin{enumerate} \item[1)] \item[2)] \item[3)] \item[4)] \item[5)] \item[6)] \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 36 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Exemple: cat{\'e}gorie cliv{\'e}e d{\'e}finie par un foncteur $\cal{E}^o\to\Cat$; cat{\'e}gories scind{\'e}es sur~$\cal{E}$} \label{VI.9} \section{Cat{\'e}gories co-fibr{\'e}es, cat{\'e}gories bi-fibr{\'e}es} \label{VI.10} \begin{proposition} \label{VI.10.1} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 37 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Exemples divers} \label{VI.11} \begin{enumerate} \item[a)] \textbf{Cat{\'e}gories des fl{\`e}ches de}~$\cal{E}$. \item[b)] \textbf{Cat{\'e}gorie des pr{\'e}faisceaux ou faisceaux sur des espaces variables} \item[c)] \textbf{Objets {\`a} op{\'e}rateurs au-dessus d'un objet {\`a} op{\'e}rateurs} \item[d)] \textbf{Couples de foncteurs adjoints quasi-inverses; autodualit{\'e}s} \item[e)] \textbf{Cat{\'e}gories au-dessus d'une cat{\'e}gorie discr{\`e}te $\cal{E}$} \item[f)] \textbf{Supposons que $\cal{E}$ ait exactement deux objets $S$ et $T$,} et en plus des \textbf{morphismes identiques, un morphisme }$f\colon T\to S$. \item[g)] \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 38 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Foncteurs sur une cat{\'e}gorie cliv{\'e}e} \label{VI.12} \begin{proposition} \label{VI.12.1} \end{proposition} \begin{remarquestar} \end{remarquestar} \section{Bibliographie} \label{VI.13} \begin{description} \item[{[1]}] A.\ Grothendieck, Sur quelques points d'alg{\`e}bre homologique, Tohoku Math.\ Journal, pp.~119--221, Vol.~9, 1957. \item[{[2]}] A.\ Grothendieck, Technique de descente et Th{\'e}or{\`e}mes d'existence,~I, S{\'e}minaire Bourbaki~190, d{\'e}cembre~1959. \end{description} %% Expose VII does not exist. \refstepcounter{chapter} \addcontentsline{toc}{chapter}{VII: n'existe pas} \chapter{Descente fid{\`e}lement plate} \label{VIII} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 39 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Descente des Modules quasi-coh{\'e}rents} \label{VIII.1} \begin{theoreme} \label{VIII.1.1} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{VIII.1.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.1.3} \end{corollaire} \subsection*{D{\'e}monstration} de~\ref{VIII.1.1}. \begin{lemme} \label{VIII.1.4} \end{lemme} \begin{corollaire} \label{VIII.1.5} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 40 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{lemme} \label{VIII.1.6} \end{lemme} \begin{corollaire} \label{VIII.1.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.1.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.1.9} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{VIII.1.10} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{VIII.1.11} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{VIII.1.12} \end{remarque} \section{Descente des pr{\'e}sch{\'e}mas affines sur un autre} \label{VIII.2} \begin{theoreme} \label{VIII.2.1} \end{theoreme} \section{Descente de propri{\'e}t{\'e}s ensemblistes et de propri{\'e}t{\'e}s de finitude de morphismes\protect\footnote{Pour d'autres r{\'e}sultats comme ceux trait{\'e}s dans les num{\'e}ros 3 et 4, Cf. EGA~IV~2.3, 2.6, 2.7.}} \label{VIII.3} \begin{proposition} \label{VIII.3.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{VIII.3.2} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 41 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proposition} \label{VIII.3.3} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{VIII.3.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.3.5} \end{corollaire} \begin{remarques} \label{VIII.3.6} \end{remarques} \section{Descente de propri{\'e}t{\'e}s topologiques} \label{VIII.4} \begin{theoreme} \label{VIII.4.1} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{VIII.4.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.4.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.4.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.4.5} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.4.6} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 42 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{VIII.4.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.4.8} \end{corollaire} \begin{remarques} \label{VIII.4.9} \end{remarques} \subsection{} \label{VIII.4.10} \section{Descente de morphismes de pr{\'e}sch{\'e}mas} \label{VIII.5} \begin{proposition} \label{VIII.5.1} \end{proposition} \begin{theoreme} \label{VIII.5.2} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{VIII.5.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.5.4} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 43 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{VIII.5.5} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.5.6} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.5.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.5.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.5.9} \end{corollaire} \begin{remarques} \label{VIII.5.10} \end{remarques} \section{Application aux morphismes finis et quasi-finis \protect\footnote{Cf. EGA IV 18.12 pour des g{\'e}n{\'e}ralisations {\`a} des pr{\'e}sch{\'e}mas non n{\'e}cessairement localement noeth{\'e}riens}} \label{VIII.6} \begin{theoreme} \label{VIII.6.1} \end{theoreme} \begin{theoreme} \label{VIII.6.2} \end{theoreme} \begin{remarques} \label{VIII.6.3} \end{remarques} \begin{corollaire} \label{VIII.6.4} \end{corollaire} \subsection*{D{\'e}monstration} de \ref{VIII.6.1} \textbf{ et}~\ref{VIII.6.2}. \begin{lemme} \label{VIII.6.5} \end{lemme} \begin{remarque} \label{VIII.6.6} \end{remarque} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 44 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Crit{\`e}res d'effectivit{\'e} pour une donn{\'e}e de descente} \label{VIII.7} \begin{proposition} \label{VIII.7.1} \end{proposition} \begin{proposition} \label{VIII.7.2} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{VIII.7.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.7.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.7.5} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{VIII.7.6} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 45 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{VIII.7.7} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{VIII.7.8} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{VIII.7.9} \end{corollaire} \begin{remarques} \label{VIII.7.10} \end{remarques} \section{Bibliographie} \label{VIII.8} \begin{description} \item[{[D]}] J.\ GIRAUD, M{\'e}thode de la descente, M{\'e}moire \no~2 de la Soc.\ Math.\ Fr., 1964. \item[{[1]}] A.\ GROTHENDIECK, S{\'e}minaire Bourbaki: G{\'e}om{\'e}trie formelle et G{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique, Mai 1959, \No~182. \item[{[2]}] A.\ GROTHENDIECK, S{\'e}minaire Bourbaki: Technique de descente et Th{\'e}or{\`e}mes d'existence~I, D{\'e}cembre 1959, \No~190. \item[{[3]}] A.\ GROTHENDIECK, S{\'e}minaire Bourbaki: Technique de descente et Th{\'e}or{\`e}mes d'existence~III, F{\'e}vrier 1961, \No~212. \end{description} \chapter{Descente des morphismes {\'e}tales. Application au groupe fondamental} \label{IX} \section{Rappels sur les morphismes {\'e}tales} \label{IX.1} \begin{definition} \label{IX.1.1} \end{definition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 46 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{remarques} \label{IX.1.2} \end{remarques} \begin{proposition} \label{IX.1.3} \end{proposition} \begin{proposition} \label{IX.1.4} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{IX.1.5} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IX.1.6} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{IX.1.7} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{IX.1.8} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{IX.1.9} \end{proposition} \begin{theoreme} \label{IX.1.10} \end{theoreme} \section{Morphismes submersifs et universellement submersifs} \label{IX.2} \begin{definition} \label{IX.2.1} \end{definition} \begin{exemples} \label{IX.2.2} \end{exemples} \begin{proposition} \label{IX.2.3} \end{proposition} \begin{proposition} \label{IX.2.4} \end{proposition} \begin{proposition} \label{IX.2.5} \end{proposition} \begin{remarque} \label{IX.2.6} \end{remarque} \section{Descente de morphismes de pr{\'e}sch{\'e}mas {\'e}tales} \label{IX.3} \begin{proposition} \label{IX.3.1} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 47 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proposition} \label{IX.3.2} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{IX.3.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IX.3.4} \end{corollaire} \section{Descente de pr{\'e}sch{\'e}mas {\'e}tales: crit{\`e}res d'effectivit{\'e}} \label{IX.4} \begin{proposition} \label{IX.4.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{IX.4.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IX.4.3} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{IX.4.4} \end{proposition} \begin{equation*} \label{eq:IX.4.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \begin{corollaire} \label{IX.4.5} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IX.4.6} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 48 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{theoreme} \label{IX.4.7} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{IX.4.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IX.4.9} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{IX.4.10} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{IX.4.11} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{IX.4.12} \end{theoreme} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 49 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Traduction en termes du groupe fondamental} \label{IX.5} \begin{equation*} \label{eq:IX.5.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:IX.5.1} \tag{1} {} \end{equation*} %% equation with right star can be done by hand... \begin{equation*} \label{eq:IX.5.2} \tag{2} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:IX.5.3} \tag{3} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:IX.5.a} \tag*{a)} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:IX.5.b} \tag*{b)} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:IX.5.c} \tag*{c)} {} \end{equation*} \begin{theoreme} \label{IX.5.1} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{IX.5.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IX.5.3} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 50 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{IX.5.4} \end{corollaire} \begin{exemple} \label{IX.5.5} \end{exemple} \begin{corollaire} \label{IX.5.6} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{IX.5.7} \end{remarque} \begin{remarque} \label{IX.5.8} \end{remarque} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 51 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Une suite exacte fondamentale. Descente par morphismes {\`a} fibres relativement connexes} \label{IX.6} \begin{theoreme} \label{IX.6.1} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{IX.6.2} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{IX.6.3} \end{remarque} \begin{corollaire} \label{IX.6.4} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{IX.6.5} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{IX.6.6} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IX.6.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{IX.6.8} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{IX.6.9} \end{remarque} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 52 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{remarque} \label{IX.6.10} \end{remarque} \begin{corollaire} \label{IX.6.11} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{IX.6.12} \end{remarque} \section{Bibliographie} \label{IX.7} \begin{description} \item[{[D]}] J.\ GIRAUD, M{\'e}thode de la descente, M{\'e}moire \no~2 de la Soc.\ Math.\ Fr.,~1964. \item[{[1]}] A.\ GROTHENDIECK, G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique et G{\'e}om{\'e}trie Formelle, S{\'e}minaire Bourbaki t.~11, 1959, \No~182. \end{description} \chapter{Th{\'e}orie de la sp{\'e}cialisation du groupe fondamental} \label{X} \section{La suite exacte d'homotopie pour un morphisme propre et s{\'e}parable} \label{X.1} \begin{definition} \label{X.1.1} \end{definition} \begin{proposition} \label{X.1.2} \end{proposition} \begin{theoreme} \label{X.1.13} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{X.1.4} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 53 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{remarques} \label{X.1.5} \end{remarques} \subsection{} \label{X.I.6} \begin{corollaire} \label{X.1.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{X.1.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{X.1.9} \end{corollaire} \begin{remarques} \label{X.1.10} \end{remarques} \section{Application du th{\'e}or{\`e}me d'existence de faisceaux: th{\'e}o\-r{\`e}me de semi-continuit{\'e} pour les groupes fondamentaux des fibres d'un morphisme propre et s{\'e}parable} \label{X.2} \begin{theoreme} \label{X.2.1} \end{theoreme} %%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 54 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{X.2.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{X.2.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{X.2.4} \end{corollaire} \begin{remarques} \label{X.2.5} \end{remarques} \begin{theoreme} \label{X.2.6} \end{theoreme} \begin{remarques} \label{X.2.7} \end{remarques} \subsection{} \label{X.2.8} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 55 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{theoreme} \label{X.2.9} \end{theoreme} \begin{lemme} \label{X.2.10} \end{lemme} \begin{corollaire} \label{X.2.11} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{X.2.12} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{X.2.13} \end{remarque} \section{Application du th{\'e}or{\`e}me de puret{\'e}: th{\'e}or{\`e}me de continuit{\'e} pour les groupes fondamentaux des fibres d'un morphisme propre et simple} \label{X.3} \begin{theoreme}[de puret{\'e}] \label{X.3.1} (Zariski-Nagata)\protect\footnote{Pour une d{\'e}monstration, cf.~SGA 2~X~3.4.} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{X.3.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{X.3.3} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{X.3.4} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 56 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{remarque} \label{X.3.5} \end{remarque} \begin{lemme} \label{X.3.6} \end{lemme} \begin{lemme} \label{X.3.7} \end{lemme} \begin{theoreme} \label{X.3.8} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{X.3.9} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{X.3.10} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 57 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{remarques} \label{X.3.11} \end{remarques} \section{Bibliographie} \label{X.4} \begin{description} \item[{[1]}] K.\ Kodaira, On compact analytic surfaces, Princeton University Press, 1960. \item[{[2]}] S.\ Lang et~J.P.\ Serre, Sur les rev{\^e}tements non ramifi{\'e}s des vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}briques, Amer.\ Journ. of Math., pp.~319--330, 1957. \item[{[3]}] M.\ Nagata, On the purity of branch loci in regular local rings, Illinois Journal of Math., p.~328--333, 1959. \item[{[4]}] J.P.\ Serre, Rev{\^e}tements ramifi{\'e}s du plan projectif (d'apr{\`e}s S.~Abhyankar), S{\'e}minaire Bourbaki, Mai 1960. \item[{[5]}] O.\ Zariski, On the purity of the branch locus of algebraic functions, Proc.\ Nat.\ Acad.\ Sc.\ USA, t.~44, p.~791--796, 1958. \item[{[6]}] O.\ Zariski, Algebraic surfaces, Ergebnisse\ldots 1948, Chelsea (New York). \end{description} \chapter{Exemples et compl{\'e}ments} \label{XI} \section{Espaces projectifs, vari{\'e}t{\'e}s unirationnelles} \label{XI.1} \begin{proposition} \label{XI.1.1} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{XI.1.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{XI.1.3} \end{corollaire} \begin{remarques} \label{XI.1.4} \end{remarques} \section{Vari{\'e}t{\'e}s ab{\'e}liennes} \label{XI.2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 58 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{theoreme} \label{XI.2.1} \end{theoreme} \section{C{\^o}nes projetants, exemple de Zariski} \label{XI.3} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 59 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{La suite exacte de cohomologie} \label{XI.4} \begin{definition} \label{XI.4.1} \end{definition} \begin{proposition} \label{XI.4.2} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{XI.4.3} \end{corollaire} \begin{definition} \label{XI.4.4} \end{definition} \begin{proposition} \label{XI.4.5} \end{proposition} \begin{remarques} \label{XI.4.6} \end{remarques} %%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 60 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{} \label{XI.4.7} \subsection{} \label{XI.4.8} \subsection{} \label{XI.4.9} \section{Cas particuliers de fibr{\'e}s principaux} \label{XI.5} \begin{proposition} \label{XI.5.1} \end{proposition} \begin{remarque} \label{XI.5.2} \end{remarque} \begin{corollaire} \label{XI.5.3} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 61 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Application aux rev{\^e}tements principaux: th{\'e}ories de Kummer et d'Artin--Schreier} \label{XI.6} \begin{proposition} \label{XI.6.1} \end{proposition} \begin{definition} \label{XI.6.2} \end{definition} \begin{corollaire} \label{XI.6.3} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{XI.6.4} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{XI.6.5} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{XI.6.6} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{XI.6.7} \end{proposition} \begin{proposition} \label{XI.6.8} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{XI.6.9} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 62 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{XI.6.10} \end{corollaire} \begin{remarques} \label{XI.6.11} \end{remarques} \section{Bibliographie} \label{XI.7} \begin{description} \item{[1]} A.\ Grothendieck, Sur quelques points d'alg{\`e}bre homologique, Tohoku Math.\ Journal, Vol.~9, pp.~119--221, 1957. \item{[2]} A.\ Grothendieck, A general theory of fibre spaces with structure sheaf, University of Kansas, 1955. \item{[3]} A.\ Grothendieck, Torsion homologique et sections rationnelles, S{\'e}minaire Chevalley, 16 juin 1958. \item{[4]} S.\ Lang, Abelian varieties, Interscience tracts in pure and applied mathematics, \No~7, New York. \item{[5]} J.P.\ Serre, Groupes alg{\'e}briques et corps de classes, Actualit{\'e}s Scient. et Ind.\ \No~1264, Hermann, Paris, 1959. \item{[6]} J.P.\ Serre, Groupes proalg{\'e}briques, Publications Math{\'e}matiques de l'IHES \No~7, pp.~1--67, 1960. \item{[7]} J.P.\ Serre, Espaces fibr{\'e}s alg{\'e}briques, S{\'e}minaire Chevalley, 21 avril 1958. \item{[8]} J.P.\ Serre, Quelques propri{\'e}t{\'e}s des vari{\'e}t{\'e}s ab{\'e}liennes en car.~ $p$, American Journal of Math., vol.~80, pp.~715--739, 1958. \item{[9]} J.P.\ Serre, Sur la topologie des vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}briques en car.~$p$, Symposium Internacional de Topologia Algebraica, 1958. \item{[10]} J.P.\ Serre, On the fundamental group of a unirational variety, Journal London Math.\ Society vol.~34, pp.~481--484, 1959. \end{description} \chapter{G{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique et g{\'e}om{\'e}trie analytique} \label{XII} \begin{center} {Mme. M.\ RAYNAUD \footnote{D'apr{\`e}s des notes in{\'e}dites de A.~Grothendieck.}} \end{center} \section{Espace analytique associ{\'e} {\`a} un sch{\'e}ma} \label{XII.1} \begin{theoreme}[et d{\'e}finition] \label{XII.1.1} \end{theoreme} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 63 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{} \label{XII.1.2} \subsection{} \label{XII.1.3} \begin{subproposition} \label{XII.1.3.1} \end{subproposition} \section{Comparaison des propri{\'e}t{\'e}s d'un sch{\'e}ma et de l'espace analytique associ{\'e}} \label{XII.2} \begin{proposition} \label{XII.2.1} \end{proposition} \begin{proposition} \label{XII.2.2} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 64 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{XII.2.3} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{XII.2.4} \end{proposition} \begin{lemme} \label{XII.2.5} \end{lemme} \begin{corollaire} \label{XII.2.6} \end{corollaire} \section{Comparaison des propri{\'e}t{\'e}s des morphismes} \label{XII.3} \begin{proposition} \label{XII.3.1} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 65 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proposition} \label{XII.3.2} \end{proposition} \begin{remarque} \label{XII.3.3} \end{remarque} \section{Th{\'e}or{\`e}mes de comparaison cohomologique et th{\'e}or{\`e}mes d'existence} \label{XII.4} \subsection{} \label{XII.4.1} \begin{equation*} \label{eq:XII.4.1.1} \tag{4.1.1} {} \end{equation*} \begin{theoreme} \label{XII.4.2} \end{theoreme} %%%%%%%%%%%%%% beginning of 66 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{XII.4.3} \end{corollaire} \begin{theoreme} \label{XII.4.4} \end{theoreme} \begin{equation*} \label{eq:XII.4.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \begin{corollaire} \label{XII.4.5} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{XII.4.6} \end{corollaire} \section{Th{\'e}or{\`e}mes de comparaison des rev{\^e}tements {\'e}tales} \label{XII.5} \setcounter{subsection}{-1} \subsection{} \label{XII.5.0} Pr{\'e}cisons la notion de rev{\^e}tement fini d'un espace analytique. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 67 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{theoreme} \label{XII.5.1} \end{theoreme} \begin{equation*} \label{eq:XII.5.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \begin{corollaire} \label{XII.5.2} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{XII.5.3} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%% beginning of 68 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{theoreme} \label{XII.5.4} \end{theoreme} \begin{remarque} \label{XII.5.5} \end{remarque} \section{Bibliographie} \label{XII.6} \begin{description} \item[{[1]}] N.\ BOURBAKI, Topologie G{\'e}n{\'e}rale, Hermann, Paris (1960). \item[{[2]}] N.\ BOURBAKI, Alg{\`e}bre Commutative, Hermann, Paris (1961). \item[{[3]}] H.\ CARTAN. S{\'e}minaire E.N.S., Paris (1956-57). \item[{[4]}] H.\ CARTAN. S{\'e}minaire E.N.S., Paris (1960-61). \item[{[5]}] R.\ GODEMENT, Th{\'e}orie des Faisceaux, Hermann, Paris (1958). \item[{[6]}] H.\ GRAUERT et R.\ REMMERT, Komplexe R{\"a}ume, Math.\ Ann., 136 (1958). \item[{[7]}] M.\ HAKIM, Sch{\'e}mas relatifs, th{\`e}se, Paris (1967). \item[{[8]}] H.\ HIRONAKA, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero, Annals of Math., 39 (1964). \item[{[9]}] R.\ REMMERT et K.\ STEIN, Ueber die wesentlichen singularit{\"a}ten analytischer mengen, Math.\ Ann., 126 (1953) p.~263--306. \item[{[10]}] J.P.\ Serre, G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique et G{\'e}om{\'e}trie Analytique, Annales de l'Institut Fourier, VI (1956), p.~1--42. \item[{[11]}] J.P.\ Serre, Prolongement des Faisceaux analytiques coh{\'e}rents, Annales de l'Institut Fourier, XVI (1966), p.~363--374. \end{description} \chapter{Propret{\'e} cohomologique des faisceaux d'ensembles et des faisceaux de groupes non commutatifs} \label{XIII} \begin{center} {par Mme. M.\ RAYNAUD \footnote{D'apr{\`e}s des notes in{\'e}dites de A.~Grothendieck.}} \end{center} Cet expos{\'e} se propose d'utiliser la cohomologie {\'e}tale \setcounter{section}{-1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 69 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Rappels sur la th{\'e}orie des champs} \label{XIII.0} \section{Propret{\'e} cohomologique} \label{XIII.1} \setcounter{subsection}{-1} \subsection{} \label{XIII.1.0} \begin{equation*} \label{eq:XIII.1.0.1} \tag{\thesubsection.1} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:XIII.1.0.2} \tag{\thesubsection.2} {} \end{equation*} \begin{definition} \label{XIII.1.1} \end{definition} \subsection{} \label{XIII.1.2} \begin{equation*} \label{eq:XIII.1.2.1} \tag{\thesubsection.1} {} \end{equation*} \subsection{} \label{XIII.1.3} \begin{subproposition} \label{XIII.1.3.1} \end{subproposition} \subsubsection*{D{\'e}monstration} \begin{exemple} \label{XIII.1.4} \end{exemple} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 70 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{remarques} \label{XIII.1.5} \end{remarques} \begin{proposition} \label{XIII.1.6} \end{proposition} \begin{equation*} \label{eq:XIII.1.6.1} \tag{\thesubsection.1} {} \end{equation*} \begin{corollaire} \label{XIII.1.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{XIII.1.8} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 71 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{XIII.1.9} \end{corollaire} \refstepcounter{subsection} \subsection*{D{\'e}finitions~1.10} \label{XIII.1.10} \subsubsection{} \label{XIII.1.10.1} \subsubsection{} \label{XIII.1.10.2} \begin{equation*} \label{eq:XIII.1.10.2.1} \tag{\thesubsubsection.1} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:XIII.1.10.2.2} \tag{\thesubsubsection.2} {} \end{equation*} \subsubsection{} \label{XIII.1.10.3} \subsubsection{} \label{XIII.1.10.4} \begin{equation*} \label{eq:XIII.1.10.4.1} \tag{\thesubsubsection.1} {} \end{equation*} \begin{exemples} \label{XIII.1.11} 1) \begin{equation*} \label{eq:XIII.1.11.1} \tag{\thesubsection.1} {} \end{equation*} \end{exemples} %%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 72 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proposition} \label{XIII.1.12} \end{proposition} \begin{proposition} \label{XIII.1.13} \end{proposition} \subsection*{D{\'e}monstration.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 73 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proposition} \label{XIII.1.14} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{XIII.1.15} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{XIII.1.16} \end{corollaire} \begin{remarque} \label{XIII.1.17} \end{remarque} \section{Un cas particulier de propret{\'e} cohomologique: diviseurs {\`a} croisements normaux relatifs} \label{XIII.2} \setcounter{subsection}{-1} \subsection{} \label{XIII.2.0} \subsubsection{} \label{XIII.2.0.1} \subsubsection{} \label{XIII.2.0.2} \subsubsection{} \label{XIII.2.0.3} %%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 74 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{} \label{XIII.2.1} \begin{subdefinition} \label{XIII.2.1.1} \end{subdefinition} \begin{subdefinition} \label{XIII.2.1.2} \end{subdefinition} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.1.2.1} \tag{\thesubsubsection.1} {} \end{equation*} \subsubsection{} \label{XIII.2.1.3} \subsubsection{} \label{XIII.2.1.4} \subsubsection{} \label{XIII.2.1.5} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.1.5.1} \tag{\thesubsubsection.1} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.1.5.2} \tag{\thesubsubsection.2} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.1.5.3} \tag{\thesubsubsection.3} {} \end{equation*} \subsubsection{} \label{XIII.2.1.6} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.1.6.1} \tag{\thesubsubsection.1} {} \end{equation*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 75 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{} \label{XIII.2.2} \subsubsection{} \label{XIII.2.2.1} \subsubsection{} \label{XIII.2.2.2} \begin{remarques} \label{XIII.2.3} \end{remarques} \begin{theoreme} \label{XIII.2.4} \end{theoreme} \subsection*{D{\'e}monstration.} \subsection*{D{\'e}monstration} de~\ref{XIII.2.4}~1). \subsubsection{} \label{XIII.2.4.1} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.4.4.1} \tag{\thesubsubsection.1} {} \end{equation*} \subsubsection{} \label{XIII.2.4.2} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.4.2.1} \tag{\thesubsubsection.1} {} \end{equation*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 76 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsubsection{} \label{XIII.2.4.3} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.4.3.1} \tag{\thesubsection.1} {} \end{equation*} \subsection*{D{\'e}monstration} de~\ref{XIII.2.4}~2). \begin{corollaire} \label{XIII.2.5} \end{corollaire} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.5.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 77 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{XIII.2.6} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{XIII.2.7} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{XIII.2.8} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{XIII.2.9} \end{corollaire} \subsection{} \label{XIII.2.10} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.10.0} \tag{2.10.0} {} \end{equation*} \begin{lemme} \label{XIII.2.11} \end{lemme} %%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 78 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{corollaire} \label{XIII.2.12} \begin{equation*} \label{eq:XIII.2.12.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \end{corollaire} \subsection*{D{\'e}monstration.} \section{Propret{\'e} cohomologique et locale acyclicit{\'e} g{\'e}n{\'e}rique} \label{XIII.3} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 79 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% this is a piece of 10 pages! \begin{theoreme} \label{XIII.3.1} \end{theoreme} \subsection*{D{\'e}monstration.} On peut suppose $S$ affine; \textbf{1) Cas des faisceaux d'ensembles constants} 1) 1. 1) 2. \textbf{2) Cas d'un faisceau d'ensembles constructible} \textbf{3) Cas des faisceaux en groupes constants} 3) 1. 3) \textbf{2. R{\'e}duction au cas o{\`u} $X$ est lisse sur~$S$} 3) 3. 3) 4. 4) \textbf{D{\'e}monstration de } 2) b) 4) 1. 4) 2. Cas g{\'e}n{\'e}ral. \begin{equation*} \label{eq:XIII.4.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} %%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 80 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{sublemme} \label{XIII.3.1.1} \end{sublemme} \begin{sublemme} \label{XIII.3.1.2} \end{sublemme} \begin{subremarque} \label{XIII.3.1.3} \end{subremarque} \begin{corollaire} \label{XIII.3.2} \end{corollaire} \begin{equation*} \label{eq:XIII.3.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 81 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{theoreme} \label{XIII.3.3} \end{theoreme} \begin{corollaire} \label{XIII.3.4} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{XIII.3.5} \end{corollaire} \section{Suites exactes d'homotopie} \label{XIII.4} \setcounter{subsection}{-1} \subsection{} \label{XIII.4.0} \begin{proposition} \label{XIII.4.1} \begin{equation*} \label{eq:XIII.4.1.1} \tag{\thesubsection.1} {} \end{equation*} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 82 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{lemme} \label{XIII.4.2} \end{lemme} \begin{proposition} \label{XIII.4.3} \begin{equation*} \label{eq:XIII.4.3.1} \tag{\thesubsection.1} {} \end{equation*} \end{proposition} \begin{sublemme} \label{XIII.4.3.1} \end{sublemme} \begin{exemples} \label{XIII.4.4} \end{exemples} \subsection{} \label{XIII.4.5} \setcounter{subsubsection}{0} \subsubsection{} \label{XIII.4.5.1} \subsubsection{} \label{XIII.4.5.2} \subsubsection{} \label{XIII.4.5.3} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 83 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proposition} \label{XIII.4.6} \begin{equation*} \label{eq:XIII.4.6.0} \tag{\thesubsection.0} {} \end{equation*} \end{proposition} \subsection{} \label{XIII.4.7} \begin{equation*} \label{eq:XIII.4.7.0} \tag{\thesubsection.0} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:XIII.4.7.1} \tag{\thesubsection.1} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:XIII.4.7.2} \tag{\thesubsection.2} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:XIII.4.7.3} \tag{\thesubsection.3} {} \end{equation*} \setcounter{subsubsection}{3} \begin{subproposition} \label{XIII.4.7.4} \end{subproposition} \begin{corollaire} \label{XIII.4.8} \begin{equation*} \label{eq:XIII.4.8.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 84 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% mistake in original text: numbering goes back to 4.6. \setcounter{subsection}{5} \begin{remarques} \label{rem:XIII.4.6} \end{remarques} \section{Appendice I: Variations sur le lemme d'Abhyankar} \label{XIII.5} \begin{proposition} \label{XIII.5.1} \end{proposition} \begin{proposition} \label{XIII.5.2} (Lemme d'Abhyankar absolu.) Soit $X$ un sch{\'e}ma local r{\'e}gulier \end{proposition} L'unicit{\'e} r{\'e}sulte du fait que $X'$ est normal (\ref{XIII.5.1}); en effet un rev{\^e}tement {\'e}tale de $X'$ \setcounter{subsection}{3} \setcounter{subsubsection}{-1} \subsubsection{} \label{XIII.5.3.0} Reprenons les hypoth{\`e}ses et les notations \setcounter{subsection}{2} \begin{corollaire} \label{XIII.5.3} \end{corollaire} \begin{proposition} \label{XIII.5.4} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% beginning of 85 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proposition} \label{XIII.5.5} \end{proposition} \begin{corollaire} \label{XIII.5.6} \end{corollaire} \begin{subremarque} \label{XIII.5.6.1} \end{subremarque} \begin{corollaire} \label{XIII.5.7} \end{corollaire} \begin{equation*} \label{eq:XIII.5.7.*} \tag{$*$} {} \end{equation*} \begin{equation*} \label{eq:XIII.5.7.**} \tag{$**$} {} \end{equation*} \section{Appendice II: th{\'e}or{\`e}me de finitude pour les images directes des champs} \label{XIII.6} \begin{proposition} \label{XIII.6.1} \end{proposition} %%%%%%%%%%%%%%% beginning of 86 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{sublemme} \label{XIII.6.1.1} \end{sublemme} \begin{sublemme} \label{XIII.6.1.2} \end{sublemme} \begin{corollaire} \label{XIII.6.2} \end{corollaire} \begin{corollaire} \label{XIII.6.3} \end{corollaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% end of 86 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Bibliographie} \label{XIII.7} \begin{description} \item[{[1]}] J.\ Giraud, Cohomologie non ab{\'e}lienne de degr{\'e}~$2$, th{\`e}se, Paris (1966). \item[{[2]}] J.\ Giraud, Cohomologie non ab{\'e}lienne de degr{\'e}~$2$, {\`a} para{\^\i}tre. \item[{[3]}] Seifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie, Chelsea, New York (1934). \item[{[4]}] J.P.\ Serre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes \no~5, Springer, Berlin (1964). \item[{[5]}] J.P.\ Serre, Corps locaux, Hermann, Paris (1962). \end{description} %% Must make index of notations and of terminology. Do that once the %% typesetting is done. Use makeindex. Do not forget to add two lines %% to the table of contents. \end{document}